next up previous contents index
Next: Frobeniova větařešitelnost soustavy Up: Hodnost Previous: Hodnost součinuregulární matice

Ekvivalentní řádkové úpravy

Objasníme konkrétní postup při určování hodnosti matice, při výpočtu matice inversní a při řešení soustav rovnic. Základní metodou je zde   Gaussova eliminace (zapomnětliví ať nahlédnou do úvodní kapitoly).

Definice.   Ekvivalentní řádkovou úpravou matice rozumíme

a také konečnou posloupnost uvedených úprav.

Tvrzení. Ekvivalentní řádkové úpravy nemění prostor tex2html_wrap_inline49826 - tedy ani hodnost matice. Důkaz si proveďte sami, je to jednoduché.

Věta. Matici tex2html_wrap_inline49794 vzniklou z matice tex2html_wrap_inline47308 řádkovou úpravou lze získat vynásobením matice tex2html_wrap_inline47308 nějakou maticí tex2html_wrap_inline49980 zleva,gif kde matice tex2html_wrap_inline49980 je

nebo součinem tex2html_wrap_inline50012 , chceme-li postupně provést úpravy odpovídající maticím tex2html_wrap_inline50014

Výpočet inversní matice.

Nechť tex2html_wrap_inline47308 je čtvercová regulární matice tex2html_wrap_inline49578 .

Napišme si dvojici matic tex2html_wrap_inline50020 (chápejme ji jako jednu matici rozměru tex2html_wrap_inline50022 ) a provádějme její řádkové úpravy tak dlouho, až dostaneme ``ekvivalentní'' matici tex2html_wrap_inline50024 .

(Jde o dvojí provedení Gaussovy eliminace: nejprve vynulujeme členy pod diagonálou tex2html_wrap_inline47308 , poté členy nad diagonálou.)

V souladu s poslední větou je ( tex2html_wrap_inline49980 representuje úpravy)

equation11794

a matice tex2html_wrap_inline49538 je tudíž hledanou inversní maticí k  tex2html_wrap_inline47308 :

equation11810

Varianta řešící soustavu. Jde o postup známý z úvodní kapitoly pro regulární tex2html_wrap_inline47308 . Soustavu

equation11818

vyřešíme prováděním řádkových úprav rozšířené matice  

equation11827

do té doby, než dostaneme matici tvaru

equation11832

vektor tex2html_wrap_inline49094 je pak hledaným řešením tex2html_wrap_inline50038 , protože matice úprav tex2html_wrap_inline49980 je opět právě tex2html_wrap_inline47316 .

Kombinovaná varianta. Můžeme najednou najít tex2html_wrap_inline47316 i vyřešit soustavu tex2html_wrap_inline50046 tak, že upravujeme matici

equation11855

až do chvíle, kdy se na místě, kde byla původně tex2html_wrap_inline47308 , objeví matice jednotková. Na místech, kde sídlila tex2html_wrap_inline49442 resp. tex2html_wrap_inline50052 , si přečteme hledané tex2html_wrap_inline47316 resp. tex2html_wrap_inline49094 .

Sloupcová analogie. Píšeme-li matice vedle sebe, je třeba provádět řádkové úpravy (aby se obě matice měnily zároveň). Chceme-li používat sloupcové úpravy, matice je třeba zapsat pod sebe. Ještě jedna změna proběhne: sloupcové úpravy se dají psát jako násobení vhodnou maticí tentokrát zprava.


next up previous contents index
Next: Frobeniova větařešitelnost soustavy Up: Hodnost Previous: Hodnost součinuregulární matice

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997