next up previous contents index
Next: Operátory v různých basíchstopa Up: Hodnost Previous: Ekvivalentní řádkové úpravy

Frobeniova věta, řešitelnost soustavy

  

Soustava tex2html_wrap_inline50046 je řešitelná právě když tex2html_wrap_inline50060 .

Důkaz. Řešitelnost znamená, že tex2html_wrap_inline50062 tak, že

equation11880

To však existuje právě tehdy, když tex2html_wrap_inline50064 , tedy když tex2html_wrap_inline50066 .

Řešení neřešitelné soustavy, lineární regrese. V mnoha praktických úlohách se setkáváme se situací, kdy rovnice pro dané neznámé známe pouze přibližně, většinou díky nepřesnosti měření, zato je obvykle větší počet rovnic než neznámých.

V obecnějším případě řešíme soustavu

equation11895

kde tex2html_wrap_inline50068 . Za zobecněné řešení tex2html_wrap_inline49094 pak pokládáme řešení soustavy, v níž proti poslední nahradíme pravou stranu k ní nejbližším možným vektorem ležícím ve sloupcovém prostoru, to jest ortogonální projekcí tex2html_wrap_inline50052 do tex2html_wrap_inline50074 .

lineární regrese   hledáme dvě neznámé a,b podle řady nepřesných údajů tex2html_wrap_inline50078 , aby ``platilo''

equation11914

Hledaný vektor tex2html_wrap_inline49094 , matice tex2html_wrap_inline47308 a pravá strana nabudou tvaru

equation11919

Metoda nese název  metoda nejmenších čtverců, protože hledáme a,b taková, aby byl minimální výraz

equation11935

Vypočítejte tedy koeficienty a, b takové, aby vektor

equation11938

a porovnejte výsledky se vzorci známými z praktik či odjinud.

Příklad první. Najděte inversní matici k matici tex2html_wrap_inline49578

equation11967

Řešení.

equation11975

equation11983

equation11991

equation12043

Výsledek tedy zní

equation12081

Zobecnění. Chceme-li najít inversní matici k matici, která má na diagonále číslo a+b a mimo diagonálu b, tj. k matici

equation12092

a napoví-li nám intuice, že inversní matice bude téhož tvaru

equation12107

lehce dopočteme koeficienty c,d z toho, že

equation12113

a protože tex2html_wrap_inline50098 , je ac=1, ad+bc+nbd=0, z čehož c=1/a a tex2html_wrap_inline50106 .

Příklad druhý. Vyřešíme soustavu zadanou první maticí a provedeme diskusi.

equation12126

equation12138

Diskuse.

Příklad třetí. Najděte nejmenší kladné celé n pro které

equation12179

Řešení. Všimnu si, že pro   blokovou matici tvaru

equation12198

platí tex2html_wrap_inline50128 . Dále si uvědomím, že

equation12216

Hledáme tedy nejmenší n, aby 2n i 3n bylo dělitelné 360, tím je n=360 jako největší společný násobek 180 a 120.

Poznámka. Existuje samozřejmě nepřeberné množství úloh z fyziky i odjinud, vedoucích k řešení nějaké soustavy lineárních rovnic. Jako příklad si napište např. Kirchhoffovy zákony pro nějaký složitější elektrický obvod, obsahující pouze zdroj stejnosměrného napětí a odpory. Spočtěte velikosti proudů v jednotlivých větvích obvodu.

picture12224


next up previous contents index
Next: Operátory v různých basíchstopa Up: Hodnost Previous: Ekvivalentní řádkové úpravy

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997