next up previous contents index
Next: Stopa Up: Operátory v různých basíchstopa Previous: Operátory v různých basíchstopa

Podobné matice, matice v různých basích

Věta. Nechť tex2html_wrap_inline49454

  1. matici tex2html_wrap_inline47308 vůči basím tex2html_wrap_inline48492 a tex2html_wrap_inline49502
  2. matici tex2html_wrap_inline49538 vůči basím tex2html_wrap_inline50178 a tex2html_wrap_inline50180

Nechť tex2html_wrap_inline50182 , tex2html_wrap_inline50184 .

equation13326

+

Speciálně, máme-li pokaždé jednu basi tex2html_wrap_inline50186 , tex2html_wrap_inline49520 ,

equation13341

Matici tex2html_wrap_inline49548 říkáme  matice přechodu od base tex2html_wrap_inline48566 (staré) k basi tex2html_wrap_inline50194 (nové). Pro lepší zapamatování detailně: Ve sloupcích má matice zapsány souřadnice vektorů nové base tex2html_wrap_inline50196 vůči staré basi tex2html_wrap_inline50198 . Obsahuje-li tedy nová base delší vektory než stará, matice přechodu od staré k nové obsahuje ``velká čísla''. Jsou-li tex2html_wrap_inline48120 souřadnice vektoru tex2html_wrap_inline49094 v basi tex2html_wrap_inline50204 (staré), tj. tex2html_wrap_inline50206 a obdobně tex2html_wrap_inline50208 souřadnice v basi tex2html_wrap_inline50210 (nové), jsou svázány vztahem

equation13369

Důkaz. Přechod od nevlnkované basi k vlnkované napíšeme takto (všimněte si, že - podle obvyklých pravidel - násobíme maticí řádek, jehož prvky nejsou čísla, ale vektory!):

equation13385

Vztah tex2html_wrap_inline50212 zapisuji

equation13416

equation13431

Zkombinujeme-li poslední rovnost s druhou rovností první řádky důkazu, máme

equation13451

Naopak, přiložíme-li funkci k rovnosti

equation13469

máme

equation13491

a získáme tak dokazovanou rovnost

equation13518

Definice. Matice tex2html_wrap_inline47308 , tex2html_wrap_inline49538 , pro něž existuje matice tex2html_wrap_inline49548 , že

equation13533

nazýváme   podobné a značíme tex2html_wrap_inline50220 .

tex2html_wrap_inline47710 Urob SI SáM:

  1. tex2html_wrap_inline50224 , tex2html_wrap_inline50226 (existuje-li).
  2. Podobné matice mají stejnou hodnost (ale i stejnou stopu a determinant, ba dokonce stejný charakteristický polynom, jak uvidíme později).
  3. Pro tex2html_wrap_inline50220 existuje v  tex2html_wrap_inline47328 base tex2html_wrap_inline48492 , v níž má zobrazení tex2html_wrap_inline50234 matici tex2html_wrap_inline49538 .


Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997