next up previous contents index
Next: Výpočet cirkulantu Up: Determinant Previous: Definice determinantu

Základní vlastnosti determinantů

Věta. Funkce

equation14032

má tyto vlastnosti:

  1. Je to  multilineární funkce, tedy lineární funkce každého sloupce (fixujeme-li sloupce zbývající).
  2. Změní znaménko po výměně dvou sloupců, obecněji pro libovolnou permutaci

    equation14040

    Z toho také plyne, že determinant matice se dvěma stejnými sloupci je nulový, protože je roven ``minus sobě''.

  3. Nezmění se přičtením lineární kombinace ostatních sloupců k sloupci danému.
  4. tex2html_wrap_inline50482 je regulární; tex2html_wrap_inline50484 .

Důkaz.

  1. Pišme (uvnitř sumujeme přes ty permutace, pro které p(1)=j)

    equation14068

    kde tex2html_wrap_inline50488 označuje j-tou souřadnici sloupce tex2html_wrap_inline50492 , což je lineární funkce tohoto sloupce, vnitřní suma na prvém sloupci vůbec nezávisí a proto je celý determinant lineární funkcí prvého (analogicky však také jakéhokoli jiného) sloupce.

  2. Platí (sumujeme přes všechny permutace tex2html_wrap_inline50494 )

    equation14082

    equation14094

    uvědomíme-li si, že sumace přes všechny permutace tex2html_wrap_inline50496 je totéž, co sumace přes všechny permutace tex2html_wrap_inline50494 (permutace tvoří grupu) a že tex2html_wrap_inline50500 , je důkaz hotov.

  3. Toto poměrně snadno plyne z předchozích dvou bodů. Využijeme linearity ve sloupci, ke kterému přičítáme, a sečteme determinant původní matice s determinantem matice, která má dva sloupce stejné.
  4. Plyne z toho, že Gaussovou eliminací (která podle (1), (3) nemění (ne)nulovost determinantu) lze dospět od regulární matice k jednotkové matici.

Cvičení. Spočtěte determinant Vandermondovy matice.

Nejprve odečtete první řádek od druhého, třetího atd. a získáte tak nuly v prvém sloupci (vyjma první řádky). Pak zjistíte, že z druhého řádku lze vytknout tex2html_wrap_inline50502 , ze třetího ...až z (n+1)-vého lze vytknout tex2html_wrap_inline50506 . (Využijete při tom vztahy typu tex2html_wrap_inline50508 .) Získáte tím faktor tex2html_wrap_inline50510 , který vyskočí před determinant. Pak odečtete od posledního sloupce tex2html_wrap_inline50512 -násobek předposledního, od předposledního ...od třetího tex2html_wrap_inline50512 -násobek druhého, čímž dostanete menší Vandermondovu matici (v níž chybí tex2html_wrap_inline50512 ).

Výsledek je tex2html_wrap_inline50518 , tedy pokud jsou všechny tex2html_wrap_inline48794 různé, je matice regulární.

Věta. Nechť matice tex2html_wrap_inline47308 má tvar   (tzv. blokové matice)

equation14112

kde v levém dolním rohu jsou samé nuly a v podtabulce tex2html_wrap_inline49548 cokoli. Pak

equation14125

Pokud blok `` tex2html_wrap_inline50526 '' není nulový, neplatí žádný vzorec typu (!)

equation14131

Důkaz. Nechť má matice tex2html_wrap_inline49794 resp. tex2html_wrap_inline50530 rozměr tex2html_wrap_inline50532 resp. tex2html_wrap_inline50534 . Determinant matice tex2html_wrap_inline47308 získáme jako sumu přes všechny permutace množiny indexů od jedné do n, ale je třeba si uvědomit, že nenulový příspěvek dají jen permutace rozložitelné, to jest takové, které lze zapsat jako komposici permutací tex2html_wrap_inline50540 , přičemž tex2html_wrap_inline50542 resp. tex2html_wrap_inline50544 účinkují pouze na množině indexů tex2html_wrap_inline50546 resp. tex2html_wrap_inline50548 : nerozložitelné permutace nutně obsahují cyklus, jehož se účastní indexy obou skupin, tedy tyto permutace nutně přiřadí některému indexu prvé skupiny nějaký index skupiny druhé, stejně tak jako naopak, a proto členy odpovídající těmto permutacím obsahují činitel z levého dolního rohu (kde jsou nuly).

Uvědomíme-li si navíc, že tex2html_wrap_inline50550 , můžeme již psát tex2html_wrap_inline50314 jako

equation14145

Poznámka. Větu lze zobecnit i na případ více bloků (zformulujte). Extrémním případem je situace, kdy bloky mají rozměr tex2html_wrap_inline50554 . Pak má věta důležitý důsledek.

Důsledek. Determinant trojúhelníkové matice je součin diagonálních prvků.

equation14163

Tento vzorec spolu s Gaussovou  eliminací dává nejdůležitější návod k výpočtu determinantů. Původní definici determinantu užíváme jen ve speciálních případech, např. pro matice, které mají ``mnoho nul'', nebo pro matice malého rozměru:

O determinantu ``matice'' tex2html_wrap_inline50556 je vhodné předpokládat, že je roven jedné. Determinant ``matice'' tex2html_wrap_inline50554 je přímo tex2html_wrap_inline50560 . Determinant matice tex2html_wrap_inline50562 je tex2html_wrap_inline50564 . Determinant matice tex2html_wrap_inline48296 počítáme pomocí    Sarusova pravidla (jako součet tří ``jihovýchodních'' součinů minus součet tří ``severovýchodních'' součinů) a je třeba zdůraznit, že neplatí pro matice jiného rozměru než tex2html_wrap_inline48296 .

Zásadní význam v teorii determinantů má

Věta. tex2html_wrap_inline50570

Poznámky. Před důkazem věty si neodpustíme pár řádek komentáře.

Důkaz. Nejprve si uvědomme, že vztah platí pro (např. horní) trojúhelníkové matice, protože součin dvou trojúhelníkových matic je opět trojúhelníková matice, která má na i-tém místě na diagonále součin prvků matic, které násobíme, na tomtéž místě, a determinant trojúhelníkové matice je součinem diagonálních prvků, jak jsme nedávno ukázali.

Obecné matice tex2html_wrap_inline49538 resp. tex2html_wrap_inline47308 převedeme takovými řádkovými resp. sloupcovými úpravami, kterými se nemění determinant (to jest přičtení řady jedné k řadě jiné nebo výměna dvou řad spojená se změnou znaménka jedné z nich - tato úprava mj. lze získat jako komposice předchozích) na matice tex2html_wrap_inline50620 resp. tex2html_wrap_inline49794 (horního) trojúhelníkového tvaru.

equation14221

Stačí již napsat

equation14231

equation14243

Někteří z vás prahnou po abstraktnějším důkazu, tak ho mají mít.

Lemma. Každá matice tex2html_wrap_inline49538 lze zapsat jako jakási správně uzávorkovaná ``suma'' matic téměř permutačních

equation14251

kde matice tex2html_wrap_inline50626 mají všude nuly, kromě míst tex2html_wrap_inline50628 , kde mají odpovídající element matice tex2html_wrap_inline49538 , totiž tex2html_wrap_inline50632 .

Nejde však o obyčejné sčítání, ale o (pro znalejší říkáme ``v jistém kontextu tensorové'') sčítání dvou matic, které se liší jen v jednom sloupci; součet pak má tento sloupec roven součtu (těch různých) sloupců sčítanců a ostatní sloupce má stejné jako sčítanci (na rozdíl od obyčejného součtu, který by měl i tyto sloupce rovny součtům, čili dvojnásobné). Pokud jsou oba sčítanci úplně stejné matice, nevíme, který sloupec máme zdvojnásobit; alespoň se dohodněme, že vybereme nulový sloupec, je-li nějaký.

Tento rozpis jsme diskutovali již na úvodu kapitoly; sčítanců bude celkem tex2html_wrap_inline50634 , ovšem jen n! z nich bude regulárních. Pro opakování: nejprve rozepíšeme tex2html_wrap_inline49538 podle prvního sloupce, pak sčítance podle druhého atd. Např.

equation14258

equation14275

Druhé lemma. Pro rozklad tex2html_wrap_inline50640 platí také

equation14299

Důkaz stačí provést pro případ

equation14305

a indukcí spatřit, že tex2html_wrap_inline47308 lze ``nasoukat'' do stále hlubších závorek, až výraz zcela ``roznásobíme''.

Ale tento případ je očividný. Nechť je různý sloupec matic tex2html_wrap_inline50644 a tex2html_wrap_inline50646 ten prvý. Pak jsou elementy prvého sloupce matice tex2html_wrap_inline49948 ``skalárním součinem'' (bez hvězdičky) řádků tex2html_wrap_inline47308 s prvním sloupcem tex2html_wrap_inline49538 , takže vskutku

equation14321

a ostatní sloupce matic tex2html_wrap_inline50654 , tex2html_wrap_inline50656 a tedy i tex2html_wrap_inline50658 , ale také tex2html_wrap_inline50660 jsou stejné.

Dále si všimneme, že vztah

equation14348

je snadným zobecněním vztahu nedávno dokázaného

equation14354

protože sloupce (např. i-tý) matice tex2html_wrap_inline50664 jsou jen číslem tex2html_wrap_inline50632 (které lze vytknout) pronásobené sloupce matice tex2html_wrap_inline50668 .

Nyní již lze upravovat tex2html_wrap_inline50670 : nejprve dosadíme z prvého lemmatu, pak upravíme podle druhého a nakonec užijeme dvakrát vztahu

equation14366

vyjadřujícího linearitu determinantu jako funkce kteréhokoliv sloupce.

equation14372


next up previous contents index
Next: Výpočet cirkulantu Up: Determinant Previous: Definice determinantu

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997