next up previous contents index
Next: Rozvoj determinantu podle sloupce Up: Determinant Previous: Základní vlastnosti determinantů

Výpočet cirkulantu

Spočteme zde jeden význačný determinant, zvaný  cirkulant, jako ilustraci vzorce tex2html_wrap_inline50672 . Nejde jen o ze stovky jiných namátkou vybraný příklad; metoda níže použitá je ve skutečnosti základem celého matematického oboru -   harmonické analýzy (teorie Fourierových trigonometrických řad atp.).

Příklad. Máme pro libovolná tex2html_wrap_inline50674 spočítat

equation14395

(řádek tex2html_wrap_inline50676 se točí dokola, na diagonále všude tex2html_wrap_inline48410 ).

Řešení. Použijeme tento ``malý trik''. (Pozor, přecházíme do komplexních prostorů!) Označme symbolem

equation14411

tzv. primitivní hodnotu tex2html_wrap_inline50680 . Pišme tex2html_wrap_inline50682 , tex2html_wrap_inline50684 . ``Zkusme'' vyjádřit matici operátoru

equation14419

v basi danégif sloupcovými vektory tvaru (číslíčka nahoře jsou exponenty)

equation14426

Platí následující význačný vztah ( tex2html_wrap_inline50204 je   ``vlastní vektor''):

equation14440

kde tex2html_wrap_inline50688

(Ověřte podrobně.)

Máme tedy výsledek! Determinant onoho zobrazení je v nové basi vyjádřen jako determinant diagonální matice s prvky tex2html_wrap_inline50690 na diagonále, je tedy součinem tex2html_wrap_inline50690 :

equation14447

Na podobné téma budeme ještě mluvit v podkapitole o duální grupě.



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997