next up previous contents index
Next: Výpočet inversní matice Up: Determinant Previous: Výpočet cirkulantu

Rozvoj determinantu podle sloupce

 Označme symbolem tex2html_wrap_inline50694 matici vzniklou vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce (podle něhož matici rozvíjíme) z matice tex2html_wrap_inline47308 . Pak platí následující věta.gif

equation14455

Důkaz. Označme symbolem tex2html_wrap_inline50702 matici vzniklou z  tex2html_wrap_inline47308 vynulováním všech prvků j-tého sloupce s výjimkou tex2html_wrap_inline50332 . Linearita determinantu jako funkce sloupce dává vztah

equation14464

Stačí nyní dokázat

tex2html_wrap_inline47710 Lemma. tex2html_wrap_inline50712

Pro i=j=1 je lemma zřejmé, jinak ``přestěhujeme'' prvek tex2html_wrap_inline50332 na místo (1,1) postupnou aplikací

Jelikož transposice sloupců, ale i řádků (jak ukazujeme dále) mění znaménko determinantu, bude výsledná matice (značme ji tex2html_wrap_inline50732 ) splňovat vztah

equation14474

Důkaz lemmatu plyne nyní ze zřejmého vztahu

equation14481

(bloková matice, první sloupec nulový až na první člen, pravý spodek matice tex2html_wrap_inline50732 je právě matice tex2html_wrap_inline50694 ). Použití řádkových úprav se bylo možno vyhnout; nebylo by to však účelné vzhledem k platnosti vztahu níže, jehož důsledkem je (všimněte si přehození indexů i a tex2html_wrap_inline50740 proti dřívějším formulím)

equation14490

tex2html_wrap_inline47710 princip. Zaměníme-li v jakémkoli platném tvrzení slovo ``řádek'' za slovo ``sloupec'' a naopak (a eventuálně invertujeme pořadí násobení matic, je-li o něm řeč), dostaneme opět platné tvrzení.

Důkaz plyne ihned z triviálního vztahu

equation14498

pro inversní permutaci chápanou jako tex2html_wrap_inline50744 pokud tex2html_wrap_inline50746 . Proto je determinant  transponované matice, to jest matice převrácené přes hlavní diagonálu, stejný jako determinant matice původní.



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997