next up previous contents index
Next: Alternativní formulace Up: Determinant Previous: Výpočet inversní matice

Cramerovo pravidlo, řešení soustavy

 Soustavu níže můžeme vyřešit také touto úvahou:

equation14537

Označme symbolem tex2html_wrap_inline50778 matici vzniklou nahražením j-tého sloupce matice tex2html_wrap_inline47308 sloupcem tex2html_wrap_inline50052 . Pak je

equation14559

(kde prostřední rovnítko je oprávněné linearitou determinantu, tex2html_wrap_inline50786 pro tex2html_wrap_inline50788 pro tex2html_wrap_inline47818 ), tedy

  equation14581

Geometrickou interpretaci této úvahy jsme již uvedli v odstavci (1.2). Ve srovnání s metodou odstavce (6.2) se nabízí otázka, která z těchto dvou metod je účinnější a rychlejší. To závisí na konkrétním případě. Výhoda vzorce (8.66) je v jeho přehlednosti, což umožní leckteré jeho netriviální aplikace i v úlohách, kdy nám nejde vysloveně o numerické hodnoty veličin tex2html_wrap_inline50792 , ale třeba jen o postihnutí některých vlastností řešení. Viz třeba odstavec (17.3) - Jacobi-Sylvesterova metoda.

Ale i v jiných problémech, třeba pro tzv. pásové matice (jejichž nenulové členy jsou soustředěny poblíž diagonály; takovýto typ se vyskytuje velmi často v aplikacích při náhradě diferenciálních rovnic diferenčními) se někdy ukazuje, že užitečnou informaci o hodnotě tex2html_wrap_inline48120 lze odvodit i pro velmi velké matice.

Cvičení. Mějme soustavu rovnic

  equation14594

kde n je hodně velké (představme si třeba tex2html_wrap_inline50798 , jak je ve statistické fysice běžné) a kde většina koeficientů tex2html_wrap_inline50800 a tex2html_wrap_inline50802 je nulová. (Řekněme, že méně než deset procent koeficientů tex2html_wrap_inline50800 i tex2html_wrap_inline50802 je nenulových.)

Potom pro většinu hodnot tex2html_wrap_inline50808 má řešení rovnice (8.67) s pravou stranou tex2html_wrap_inline50810 alespoň polovinu složek nulových! Dokažte. (Prozkoumejte ten cyklus libovolné permutace přispívající k determinantu v čitateli, který obsahuje sloupec k. Může být vůbec příspěvek permutace s takovým cyklem nenulový?)



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997