next up previous contents index
Next: Charakterisace isometrií ve třech Up: Zimní semestr Previous: Alternativní formulace

Vlastní čísla a vektory operátoru

Přicházíme nyní k jednomu z nejdůležitějších pojmů lineární algebry.

Definice. Nechť tex2html_wrap_inline49492 je lineární operátor a

equation14628

Pak tex2html_wrap_inline49990 nazveme   charakteristickým neboli    vlastním číslemgif operátoru f a tex2html_wrap_inline49152 jeho   vlastním vektorem. (V případě, že jde o prostor funkcí tex2html_wrap_inline48468 , mluvíme o   vlastní funkci.) Souboru vlastních čísel operátoru říkáme  spektrum. Zformulujte si sami pojem vlastního čísla a vektoru matice.

Nutnost zavedení komplexních lineárních prostorů.
Chceme-li využívat mocné techniky vlastních čísel a vektorů rozvinuté dále, uvažme, že algebraická rovnice s koeficienty z  tex2html_wrap_inline47396 nemusí mít kořen z  tex2html_wrap_inline47396 , zatímco pro tex2html_wrap_inline47398 existuje

základní věta algebry. Ta tvrdí, že každý polynom alespoň prvního stupně s libovolnými koeficienty z  tex2html_wrap_inline47398 má v komplexním oboru alespoň jeden kořen.

Intuitivní důkaz. (Pro ty, co již třeba slyšeli něco o logaritmu komplexního čísla. Jinak, prosím, text přeskočte.) Polynom

equation14655

se pro velká komplexní tex2html_wrap_inline50856 , kde tex2html_wrap_inline50858 chová jako tex2html_wrap_inline50860 . Lze najít dostatečně velké r, aby se argument (úhel) při objetí kružnice změnil celkově o  tex2html_wrap_inline50864 .

Pokud je polynom v celé Gaussově rovině nenulový, lze ho všude logaritmovat (logaritmus komplexního čísla je logaritmem jeho absolutní hodnoty plus i-krát argument, který vybereme třeba z intervalu tex2html_wrap_inline50868 , logaritmus pak bude stejně jako polynom sám spojitou funkcí a po objetígif po libovolné křivce se vrátí na výchozí hodnotu, aniž by se změnil byť jen o násobek tex2html_wrap_inline50872 , což je v rozporu se závěrem minulého odstavce.

Důsledek. Každý polynom stupně n lze napsat ve tvaru

equation14659

nebo ve tvaru

equation14664

kde tex2html_wrap_inline50876 jsou vzájemně různé a n(j) je  stupeň neboli  násobnost kořene tex2html_wrap_inline50876 .

Náznak důkazu. Je-li tex2html_wrap_inline47898 kořen polynomu, pakgif

equation14668

kde q(x) je jakýsi polynom stupně n-1, jehož kořeny mají stejnou násobnost jako u p kromě kořenu tex2html_wrap_inline47898 , jenž ji má o jednu menší. Iterováním poslední vysazené formule dostáváme požadovaný rozklad.

Věta. tex2html_wrap_inline49990 je vlastním číslem f tex2html_wrap_inline50898 tex2html_wrap_inline49990 řeší rovnici tex2html_wrap_inline50902

Důkaz. tex2html_wrap_inline50904 není bijekcí, a to není právě když tex2html_wrap_inline50906 . Poslední rovnice je tzv.   charakteristická rovnice operátoru. (Zopakujte si pojem determinantu operátoru!)

Věta o diagonalisaci. Nechť charakteristická rovnice tex2html_wrap_inline49492 má všechny kořeny různé, tj. jednonásobné. Pak lze f diagonalisovat, podrobněji f má diagonální matici vzhledem k basi tex2html_wrap_inline48468 tvořené vlastními vektory f.

Důkaz. Stačí ukázat, že vlastní vektory tvoří basi tex2html_wrap_inline48468 ; jelikož jejich počet odpovídá stupni charakteristické rovnice tzn. dimensi tex2html_wrap_inline48468 , ukážeme již jen jejich nezávislost, třeba takto: Kdyby pro vhodnou nenulovou sadu koeficientů tex2html_wrap_inline50922 platilo

equation14688

kde tex2html_wrap_inline50924 , tak by pro každé kladné celé N platilo

equation14698

a to je příliš (nekonečně mnoho) nezávislých rovnic pro neznámé tex2html_wrap_inline50922 na to, aby šly řešit. Dumejte podrobněji, viz též kapitolu o Jordanově tvaru.

Použili jsme jednoduché tex2html_wrap_inline47710 tvrzeníčko. Je-li tex2html_wrap_inline50932 , je také

equation14712

Věta. Nechť tex2html_wrap_inline50934 jsou prvky spektra f; každý prvek píšeme tolikrát, kolik je jeho násobnost. Pak

equation14719

V případě jednonásobných kořenů plyne z minulé věty, obecný důkaz rozvádět nebudeme, neboť vyplyne z detailnějších úvah o Jordanově formě matice, ale můžete si jej provést již teď, uvědomíte-li si, že stopa a determinant jsou (až na znaménko) koeficienty tex2html_wrap_inline50938 charakteristického polynomu.

Věta. Nereálná vlastní čísla a vektory reálné matice tex2html_wrap_inline47308 (zatím nemluvme o obecném operátoru) lze sdružit do párů:

equation14725

Důkaz. Druhá rovnost je komplexně sdružená s první, a že lze pruh ``roztrhnout'' při násobení tex2html_wrap_inline50942 , asi ještě víte.

Příklad. Ověřením vztahu

equation14748

pokud inverse existuje alespoň na jedné straně, dokažte, že nenulové části spektra tex2html_wrap_inline49948 i tex2html_wrap_inline50946 jsou stejné.

Tento fakt je ještě mnohem jednodušeji vidět z rovnosti (ukazující podobnost tex2html_wrap_inline49948 a tex2html_wrap_inline50946 a platné pokud tex2html_wrap_inline47308 resp. tex2html_wrap_inline49538 je regulární, což je silný požadavek v případě nekonečné dimense, kde tedy bývá užitečnější vztah výše uvedený)

equation14771

Z tohoto plyne, že rovnice tex2html_wrap_inline50956 nemá řešení pro matice konečné velikostigif (srovnej se sekcí Kvantová mechanika). Uvedenou nemožnost je možno dokázati i jednodušeji užitím cykličnosti stopy. Proveďte!




next up previous contents index
Next: Charakterisace isometrií ve třech Up: Zimní semestr Previous: Alternativní formulace

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997