next up previous contents index
Next: Přehled grupCartaniáda Up: Vlastní čísla a vektory Previous: Vlastní čísla a vektory

Charakterisace isometrií ve třech rozměrech

Důsledek. Nechť tex2html_wrap_inline50962 je lineární zobrazení zachovávající délky vektorů. Pak platí tex2html_wrap_inline50964 a

Důkaz. Nejprve poznamenejme, že vlastnosti ``zachovává velikost vektoru'' a ``zachovává skalární součin'' jsou v důsledku kosinové věty ekvivalentní.

equation14797

Podle první věty máme, že buď jsou všechna vlastní čísla zobrazení f tex2html_wrap_inline50978 reálná, nebo musí být dvě vzájemně komplexně sdružená (řekněme tex2html_wrap_inline50980 ). Jelikož

equation14822

Tedy je tex2html_wrap_inline50982 , a tak tex2html_wrap_inline50984 , čili tex2html_wrap_inline50986 .

Našli jsme vlastní vektor příslušející vlastnímu číslu tex2html_wrap_inline50988 , v kladném případě tedy osu otáčení. Řekneme už jen, že označíme-li tuto osu jako z, jsou další vlastní vektory ( tex2html_wrap_inline47614 je úhel otočení kolem osy z; lehce se o všem přesvědčíte přímým výpočtem)



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997