next up previous contents index
Next: Letní semestr Up: Vlastní čísla a vektory Previous: Charakterisace isometrií ve třech

Přehled grup, Cartaniáda

Na závěr první části knihy uvádíme přehled grup, zvláště   grup Lieových (to jest spojitých grup matic). Je trochu náhoda, že se ocitl v této kapitole. Začátečníkům doporučujeme čtení této kapitoly odložit na pozdější dobu (po seznámení se s úvodem kapitoly Lieova algebra).

Mezi obvyklé symboly pro grupy patří:

To byly grupy   diskrétní (nespojité), v prvých třech případech konečné. Další položky budou grupy Lieovy. Čtete-li text poprvé, následující seznamy přeskočte nebo čtěte v pořadí od nejjednodušších grup (ty ale určitě):

equation14857

Pro čtenáře, kteří zatím nebudou číst níže uvedený text, uvádíme telegraficky nejdůležitější informace. tex2html_wrap_inline51040 je grupou všech regulárních matic, tex2html_wrap_inline51042 je podgrupou všech matic s determinantem jedna (zopakujte větu o násobení determinantů!), tex2html_wrap_inline48182 je grupou všech tzv. ortogonálních matic; pojem ortogonální matice můžeme definovat nejméně třemi ekvivalentními způsoby:

Konečně, grupou tex2html_wrap_inline51054 rozumíme grupu všech ortogonálních matic, jejichž determinant má hodnotu jedna.

  Cvičení. Determinant ortogonální matice je roven tex2html_wrap_inline50988 .

Grupy tex2html_wrap_inline51058 a tex2html_wrap_inline51060 tzv. unitárních matic jsou analogií grup tex2html_wrap_inline48182 a tex2html_wrap_inline51054 ; jsou užitečné v komplexních prostorech. Pojem unitární matice lze opět definovat několika ekvivalentními způsoby: unitární matice zachovávají skalární součin v komplexním prostoru a další ekvivalentní podmínky lze formulovat analogicky jako nahoře. Proveďte patřičnou modifikaci, pracujte s maticí tex2html_wrap_inline51066 a podobně.

Cvičení. Determinant unitární matice je komplexní jednotkou.

 Cartan ( tex2html_wrap_inline47304 ) ve své disertaci provedl klasifikaci prostých kompaktních spojitých grup a odpovídajících algeber (viz kapitolu o exponenciále). (Grupě říkáme   kompaktní, pokud každá posloupnost jejích prvků obsahuje konvergentní podposloupnost; v případě grup matic lze říci, že kompaktní grupy jsou grupy matic, jejichž prvky jsou matice se stejně omezenými složkami a navíc jsou tyto grupy uzavřené jako podmnožiny patřičného vektorového prostoru.

V dalším uvádíme některá základní data o tom, jak mohou obecně vypadat kompaktní grupy matic; uvedené výsledky i (gotická) označení pocházejí od Cartana. Použité indexy označují tzv. rank grupy, což je (podobně jako dimense grupy) pojem, který zavedeme podrobněji až v kapitole o Lieových algebrách. (Čtenář hlouběji studující níže uvedený text, hledající více než jen počáteční seznámení s názvy některých význačných grup, by měl nejprve prostudovat úvodní partie dotyčné kapitoly). Zhruba řečeno, rank grupy udává, kolik vzájemně komutujících a nezávislých kružnic (``kružnicí'' rozumíme jednoparametrickou podgrupu; přesné vysvětlení zde použitého pojmu ``nezávislosti'' je možno podat také až v kapitole Lieova algebra) jsme schopni v grupě objevit - zatímco dimense grupy je číslo, které udává, do kolikadimensionálního euklidovského prostoru jsme schopni danou grupu lokálně vzájemně jednoznačně a hladce zobrazit.

Cvičení. ( tex2html_wrap_inline51070 ) Rank grupy všech otočení v  tex2html_wrap_inline51072 (tuto grupu dále značíme jako tex2html_wrap_inline48228 ) je roven jedné, tzn. neexistují dvě různá otočení prostoru podle neidentických os, která by komutovala. Uvědomte si to! ( tex2html_wrap_inline47306 )

Nejen kompaktními grupami živa je teorie grup. (Ačkoli kompaktní grupy mají nesporné přednosti; mají ``konečný objem'', tzn. takzvané invariantní integrování po grupě (Haarova míra)  

equation14967

lze normovat na jednotkový integrál z jednotkové funkce, o čemž nemůže být řeči u nekompaktních grup a což např. zaručuje, že každá lineární representace kompaktní grupy se dá rozepsat jako přímý součet nerozložitelných podprostorů.)

         SYLABUS PŘEDNÁŠKY LA 1/FYZ,ZIMNÍ SEMESTR

1  Pojem grupy, tělesa, lineárního prostoru, homomorfismu.
2  Permutace, transposice, cykly, inverze. Znak permutace.
3  Lineární (ne)závislost, pojem dimense, Steinitzova věta.
4  Isomorfismus. Podprostory lin. prostoru. Reálné a komplexní
   lineární prostory a vztahy jejich dimensí.
5  Prostory se skalárním součinem. Cauchyova a Minkowského
   nerovnost.
6  Gramm-Schmidtův ortogonalisační proces. Ortogonální doplněk
   podprostoru, ortogonální projekce. Dimense doplňku.
7  Lineární zobrazení. Příklady. Vztahy dimense jádra, obrazu
   a definičního oboru.
8  Vyjádření lineárního zobrazení maticí vůči daným
   bazím.(Příklad: derivace a posun polynomu) Transformace
   souřadnic vektoru při lineárním zobrazení.
9  Skládání zobrazení versus násobení matic.
10 Sloupcový a řádkový prostor matice, vztah jejich dimensí.
   Hodnost matice a zobrazení.
11 Frobeniova věta. Řešení přeurčených soustav.
12 Řádkové úpravy matice, jejich representace jako násobení
   jistými speciálními maticemi zleva. Důsledky: řešení
   soustav a výpočet inversní matice.
13 Gaussova eliminace.
14 Hodnost součinu matic. Regulární matice, příklady.
15 Vyjadřování zobrazení maticemi v různých dvojicích basí,
   způsob zápisu transformačních vztahů. Podobné matice.
16 Stopa matice a zobrazení, vlastnosti.
17 Definice a základní vlastnosti determinantu (chování při
   řádkových a sloupcových operacích). Objem rovnobežnostěnu.
19 Determinant součinu matic. Důsledky.
18 Rozvoj determinantu podle řádku (sloupce). Důsledek:
   výpočet inversní matice. Cramerovo pravidlo.
20 Výpočet determinantu speciálních matic (blokové, 3x3,...)
21 Rozklad mnohočlenu na kořenové činitele.
22 Vlastní čísla a vektory matice (operátoru).
23 Charakterisace třídimenzionálních izometrií.
24 Význačné grupy matic: GL,SL,O,SO,U,SU,...


next up previous contents index
Next: Letní semestr Up: Vlastní čísla a vektory Previous: Charakterisace isometrií ve třech

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997