next up previous contents index
Next: Příklad třírozměrného kvasikrystalu Up: Dláždění a krystaly Previous: Několik pojmů z krystalografie

Penroseho pokrytí

Na obrázku vpravo Roger Penrose, kromě mnoha věcí spoluobjevitel těchto kvaziperiodických struktur, vlevo je jeho bratr Oliver Penrose. Na obrázky lze kliknout.


tex2html_wrap_inline51338 uvažujme cyklickou pětičetnou grupu isometrií tex2html_wrap_inline51340 isomorfní tex2html_wrap_inline51342 a generovanou prvkem g,

equation17765

přičemž tex2html_wrap_inline51346 je kanonická base.

Hledáme tzv.   invariantní podprostory vůči tex2html_wrap_inline51340 , to jest podprostory tex2html_wrap_inline51350 takové, žegif

equation17804

Nalezení invariantních podprostorů.

Snadno si uvědomíme, že ``diagonála''

equation17809

je invariantním podprostorem, obal vlastního vektoru (1,1,1,1,1) grupy tex2html_wrap_inline51340 (je to vlastní vektor všech jejích prvků).

Další podprostory. Získáme je, že z  tex2html_wrap_inline51338 přejdeme do tex2html_wrap_inline51372 a určíme zbývající čtyři vlastní vektory tex2html_wrap_inline51340 (tyto a k nim sdružené):

equation17817

(z rovnic, aby byl vektor vlastním vektorem generujícího prvku grupy, dostaneme, že podíl sousedních souřadnic je vždy stejné tex2html_wrap_inline48604 ) a dva vektory s komplexně sdruženými souřadnicemi v kanonické basi. Zde všude je tex2html_wrap_inline51378 , tedy tex2html_wrap_inline51380 . Invariantní podprostory v  tex2html_wrap_inline51372 lze dostat jako lineární obal libovolné podmnožiny množiny pěti vlastních vektorů (tedy 32 podprostorů, z toho jeden triviální -jen nulový vektor-, jeden celé tex2html_wrap_inline51372 atd.). Chceme-li se rozumně vrátit do reálného prostoru, všimněme si dvojrozměrného komplexního prostoru tex2html_wrap_inline51386 s basígif

equation17822

Druhý vektor je onen komplexně sdružený k prvnímu (jelikož souřadnice jsou komplexní jednotky, můžeme pruh také posunutím doprava přeměnit na minus v exponentu) a lze zvolit jinou, reálnější basi

equation17832

Bereme-li jen reálné kombinace těchto vektorů, získáme reálný dvojrozměrný invariantní podprostor tex2html_wrap_inline51390 . (Podobně z dalších dvou komplexně sdružených vektorů dostaneme další podprostor.)

Ortogonální projekce tex2html_wrap_inline51392 vypadá asi tak jako na straně gif.

Poznámka. Podobné konstrukce je možno vytvořit i pro libovolná jiná lichá přirozená čísla, případ sudých čísel se odlišuje ``dvojrozměrností diagonály'' (promyslete podrobněji). Ortogonální projekce tří-, pěti-, deseti-, jedenadvacetirozměrných krychlí do některého z těchto dvojrozměrných invariantních podprostorů (kromě diagonály!) dávají obrázky znázorněné na obálce knihy. Je možno si je představit také jako výsledek posloupnosti postupných ortogonálních projekcí do prostorů dimensí snižujících se o jedničku, začínající v prostoru tex2html_wrap_inline49212 , kde n=3,5,10,21, a končících ve zvoleném invariantním podprostoru. Čtenáři necháme k zamyšlení (asi netriviálnímu), jak vypadají ``viditelné'' hrany těchto jednotlivých projekcí.

Věty. tex2html_wrap_inline51398 (každý vektor kolmý na každý); projekce každého jednotkového dvojrozměrného čtverce s vrcholy v  tex2html_wrap_inline51400 do tex2html_wrap_inline51390 (analogicky do tex2html_wrap_inline51404 ) je koso čtvercem s vnitřním úhlem tex2html_wrap_inline51406 nebo tex2html_wrap_inline51408 , oba mají stejnou délku strany.

tabular17848

Konstrukce Penroseho pokrytí. Pozor, je to namáhavé! ( tex2html_wrap_inline47304 )

Nechťgif tex2html_wrap_inline51416 je jednotková krychle v  tex2html_wrap_inline51338 .

Označme tex2html_wrap_inline51420 .

Penroseovo pokrytí (jde skutečně o přesné vydláždění roviny dvěma typy kosočtverců, nikde se nepřekrývají a nikde nezbude ``díra'') je tvořeno projekcemi všech dvojrozměrných jednotkových čtverců s vrcholy v  tex2html_wrap_inline51400 , které leží celé v U.

Vulgarisace. ( tex2html_wrap_inline51070 ) Pro rámcovou představu o konstrukci Penroseova dláždění stačí uvažovat o prostoru tex2html_wrap_inline51428 kolmém na vektor (1,1,1). Přičteme-li k němu jednotkovou krychli, dostaneme pás prostoru a pohledem ve směru (1,1,1) na tento pás prostoru spatříme ``hranici zubatého poloprostoru'', což se v průmětu jeví jako šestiúhelníková síť, v níž je každý šestiúhelník (stejným způsobem) rozdělen na tři kosočtverce. ( tex2html_wrap_inline47306 )

Cvičení. Dokažte pětičetnou symetrii tohoto pokrytí. Ambiciósnější studenti věnují asi deset hodin na důkaz, že pokrytí nemá překryvy a díry.

Reference. Úvodní seznámení např. v Scientific American, April 1991, v adresáři motl na sítích najdete program jednoho z autorů, který toto dláždění kreslí. Možná vás upoutá, že ``tlustých'' kosočtverců je více než ``hubených'' právě  zlatý-řez-krát (tj. cca 1.618krát). Ti, kteří toto budou dokazovat, nakonec dojdou k tomu, že je to poměr objemů dvou určitých trojrozměrných rovnoběžnostěnů. (Přesněji řečeno poměr obsahů průniků systému ekvidistantních rovnoběžných rovin - mluvme o nich jako o rovinách z=konst. - a dvou rovnoběžnostěnů, každý z nichž je generován vektory se z-ovou složkou rovnou vzdálenosti sousedních rovnoběžných rovin, čili poměr vyjde naštěstí stejný, nezávislý na konkrétním umístění rovin.) V programu také najdete parametr ``posun'', jehož volbou (0 nebo 1) docílíte globálně odlišné obrázky (v uvedených krajních případech je maximum resp. minimum (žádné) počtu deseticípých hvězd).

Věta (Babilonova). Poměr četností kosočtverců (resp. rhomboidů  ve   vícerozměrných kvasiperiodických pokrytích diskutovaných níže) dvou typů je roven poměru jejich obsahů (resp. objemů). Toto je důsledek následujícího tvrzení: ( tex2html_wrap_inline47306 )

Tvrzení. V ortogonální matici tex2html_wrap_inline47308 rozměru tex2html_wrap_inline51446 , zapsané pomocí tex2html_wrap_inline49578 bloků

equation22985

jsou spektra tzv. Grammových matic tex2html_wrap_inline51450 a tex2html_wrap_inline51452 stejná. Speciálně, matice tex2html_wrap_inline51454 a tex2html_wrap_inline51456 mají determinant stejný až na případné znaménko. Větu lze zobecnit i pro bloky různých rozměrů, doplníme-li menší blok po diagonále jednotkami (a všude jinde píšeme nuly).

Důkaz. Rozepsáním vztahu tex2html_wrap_inline51048 ortogonality tex2html_wrap_inline47308 na bloky dostaneme mimo jiné podmínku

equation23007

a z ekvivalentní rovnosti tex2html_wrap_inline51050 získáme

equation23017

kombinací kterých dojdeme k závěru, že matice tex2html_wrap_inline51464 a tex2html_wrap_inline51466 jsou podobné, poněvadž platí (viz podrobněji kapitolku o polárním rozkladu)

tex2html_wrap_inline47710 Lemma. Matice tex2html_wrap_inline51470 a tex2html_wrap_inline51472 jsou podobné, je-li alespoň jedna z matic tex2html_wrap_inline51474 regulární. Speciálně, podobné jsou i tex2html_wrap_inline51476 a tex2html_wrap_inline51478 pro regulární tex2html_wrap_inline51480 .

tex2html_wrap_inline47710 Důkaz.

equation23049

Cvičení.

 Spočtěte poměr ploch 'tlustého' a 'tenkého' kosočtverce
 v~Penroseově pokrytí.

Definici Penroseho dláždění lze uplatnit pro libovolný podprostor tex2html_wrap_inline51484 prostoru libovolné dimense; není-li ovšem tex2html_wrap_inline51390 invariantní podprostor vhodné grupy, nebudeme mít žádné symetrie takto vzniklého kvasiperiodického obecného dláždění.


next up previous contents index
Next: Příklad třírozměrného kvasikrystalu Up: Dláždění a krystaly Previous: Několik pojmů z krystalografie

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997