Penroseho pokrytí

Na obrázku vpravo Roger Penrose, kromě mnoha věcí spoluobjevitel těchto kvaziperiodických struktur, vlevo je jeho bratr Oliver Penrose. Na obrázky lze kliknout.

V  uvažujme cyklickou pětičetnou grupu isometrií isomorfní a generovanou prvkem g,

přičemž je kanonická base.

Hledáme tzv.   invariantní podprostory vůči , to jest podprostory takové, že

Nalezení invariantních podprostorů.

Snadno si uvědomíme, že ``diagonála''

je invariantním podprostorem, obal vlastního vektoru (1,1,1,1,1) grupy (je to vlastní vektor všech jejích prvků).

Další podprostory. Získáme je, že z  přejdeme do a určíme zbývající čtyři vlastní vektory (tyto a k nim sdružené):

(z rovnic, aby byl vektor vlastním vektorem generujícího prvku grupy, dostaneme, že podíl sousedních souřadnic je vždy stejné ) a dva vektory s komplexně sdruženými souřadnicemi v kanonické basi. Zde všude je , tedy . Invariantní podprostory v  lze dostat jako lineární obal libovolné podmnožiny množiny pěti vlastních vektorů (tedy 32 podprostorů, z toho jeden triviální -jen nulový vektor-, jeden celé atd.). Chceme-li se rozumně vrátit do reálného prostoru, všimněme si dvojrozměrného komplexního prostoru s basí

Druhý vektor je onen komplexně sdružený k prvnímu (jelikož souřadnice jsou komplexní jednotky, můžeme pruh také posunutím doprava přeměnit na minus v exponentu) a lze zvolit jinou, reálnější basi

Bereme-li jen reálné kombinace těchto vektorů, získáme reálný dvojrozměrný invariantní podprostor . (Podobně z dalších dvou komplexně sdružených vektorů dostaneme další podprostor.)

Ortogonální projekce vypadá asi tak jako na straně .

Poznámka. Podobné konstrukce je možno vytvořit i pro libovolná jiná lichá přirozená čísla, případ sudých čísel se odlišuje ``dvojrozměrností diagonály'' (promyslete podrobněji). Ortogonální projekce tří-, pěti-, deseti-, jedenadvacetirozměrných krychlí do některého z těchto dvojrozměrných invariantních podprostorů (kromě diagonály!) dávají obrázky znázorněné na obálce knihy. Je možno si je představit také jako výsledek posloupnosti postupných ortogonálních projekcí do prostorů dimensí snižujících se o jedničku, začínající v prostoru , kde n=3,5,10,21, a končících ve zvoleném invariantním podprostoru. Čtenáři necháme k zamyšlení (asi netriviálnímu), jak vypadají ``viditelné'' hrany těchto jednotlivých projekcí.

Věty. (každý vektor kolmý na každý); projekce každého jednotkového dvojrozměrného čtverce s vrcholy v  do (analogicky do ) je koso čtvercem s vnitřním úhlem nebo , oba mají stejnou délku strany.

Konstrukce Penroseho pokrytí. Pozor, je to namáhavé! ( )

Nechť je jednotková krychle v  .

Označme .

Penroseovo pokrytí (jde skutečně o přesné vydláždění roviny dvěma typy kosočtverců, nikde se nepřekrývají a nikde nezbude ``díra'') je tvořeno projekcemi všech dvojrozměrných jednotkových čtverců s vrcholy v  , které leží celé v U.

Vulgarisace. ( ) Pro rámcovou představu o konstrukci Penroseova dláždění stačí uvažovat o prostoru kolmém na vektor (1,1,1). Přičteme-li k němu jednotkovou krychli, dostaneme pás prostoru a pohledem ve směru (1,1,1) na tento pás prostoru spatříme ``hranici zubatého poloprostoru'', což se v průmětu jeví jako šestiúhelníková síť, v níž je každý šestiúhelník (stejným způsobem) rozdělen na tři kosočtverce. ( )

Cvičení. Dokažte pětičetnou symetrii tohoto pokrytí. Ambiciósnější studenti věnují asi deset hodin na důkaz, že pokrytí nemá překryvy a díry.

Reference. Úvodní seznámení např. v Scientific American, April 1991, v adresáři motl na sítích najdete program jednoho z autorů, který toto dláždění kreslí. Možná vás upoutá, že ``tlustých'' kosočtverců je více než ``hubených'' právě  zlatý-řez-krát (tj. cca 1.618krát). Ti, kteří toto budou dokazovat, nakonec dojdou k tomu, že je to poměr objemů dvou určitých trojrozměrných rovnoběžnostěnů. (Přesněji řečeno poměr obsahů průniků systému ekvidistantních rovnoběžných rovin - mluvme o nich jako o rovinách z=konst. - a dvou rovnoběžnostěnů, každý z nichž je generován vektory se z-ovou složkou rovnou vzdálenosti sousedních rovnoběžných rovin, čili poměr vyjde naštěstí stejný, nezávislý na konkrétním umístění rovin.) V programu také najdete parametr ``posun'', jehož volbou (0 nebo 1) docílíte globálně odlišné obrázky (v uvedených krajních případech je maximum resp. minimum (žádné) počtu deseticípých hvězd).

Věta (Babilonova). Poměr četností kosočtverců (resp. rhomboidů  ve   vícerozměrných kvasiperiodických pokrytích diskutovaných níže) dvou typů je roven poměru jejich obsahů (resp. objemů). Toto je důsledek následujícího tvrzení: ( )

Tvrzení. V ortogonální matici rozměru , zapsané pomocí bloků

jsou spektra tzv. Grammových matic a stejná. Speciálně, matice a mají determinant stejný až na případné znaménko. Větu lze zobecnit i pro bloky různých rozměrů, doplníme-li menší blok po diagonále jednotkami (a všude jinde píšeme nuly).

Důkaz. Rozepsáním vztahu ortogonality na bloky dostaneme mimo jiné podmínku

a z ekvivalentní rovnosti získáme

kombinací kterých dojdeme k závěru, že matice a jsou podobné, poněvadž platí (viz podrobněji kapitolku o polárním rozkladu)

Lemma. Matice a jsou podobné, je-li alespoň jedna z matic regulární. Speciálně, podobné jsou i a pro regulární .

Důkaz.

Cvičení.

 Spočtěte poměr ploch 'tlustého' a 'tenkého' kosočtverce
 v~Penroseově pokrytí.

Definici Penroseho dláždění lze uplatnit pro libovolný podprostor prostoru libovolné dimense; není-li ovšem invariantní podprostor vhodné grupy, nebudeme mít žádné symetrie takto vzniklého kvasiperiodického obecného dláždění.