next up previous contents index
Next: Exponenciála matice Up: Dláždění a krystaly Previous: Penroseho pokrytí

Příklad třírozměrného kvasikrystalu

( tex2html_wrap_inline47304 ) Zmíníme se ještě o fysikálnější - totiž trojdimensionální - analogii Penroseova pokrytí. Ukážeme, jak lze vyjádřit prostor tex2html_wrap_inline51072 jako  ``kvasiperiodický slepenec rhomboidůgif dvou různých typů''.gif

Základem porozumění níže uvedené konstrukci, pocházející z poloviny 80.let (Duneau-Katz), bude znalost dvacetistěnu (viz úvod skript); zdůrazňujeme zvláště fakt, že skalární součin jednotkových vektorů ve směru vrcholů je tex2html_wrap_inline50988 nebo tex2html_wrap_inline51494 (přičemž důležitá je jen ta tex2html_wrap_inline51496 dichotomie v druhém případě).

Nyní je možno použít následující elegantní šestirozměrnou konstrukci: umístěme v  tex2html_wrap_inline51498 dvě vzájemně kolmé kopie tex2html_wrap_inline51072 , tex2html_wrap_inline51502 a mějme v  tex2html_wrap_inline51072 resp. v  tex2html_wrap_inline51502 vystavěny dvacetistěny tak, že platí tex2html_wrap_inline51508

equation23074

kde tex2html_wrap_inline51510 , resp. s čarou, jsou zmíněné vrcholy dvacetistěnu v  tex2html_wrap_inline51072 , resp. tex2html_wrap_inline51502 . Je vskutku pozoruhodným faktem, že takové ``dvojí očíslování vrcholů dvacetistěnu'' je vůbec možné (přečíslujeme-li pět sousedů vrcholu tex2html_wrap_inline47496 z pětiúhelníku na hvězdu a vrchol tex2html_wrap_inline47496 zaměníme s  tex2html_wrap_inline51520 , přejdou nám blízké dvojice vrcholů na vzdálené a naopak). Vektory

equation23102

jsou nyní kolmé (a jednotkové)!

Vytvoříme nyní následující analogii Penroseovy konstrukce: vezměme ``pás''

equation23123

kde K je jednotková krychle vymezená tex2html_wrap_inline51528 . Vezměme nyní všechny trojrozměrné jednotkové krychle s vrcholy ve mřížce tex2html_wrap_inline51530 (všechny celočíselné kombinace tex2html_wrap_inline51532 ), které leží celé v U, ortogonálně je promítněme do tex2html_wrap_inline51072 (projekcí K je potom třicetistěn) a máme ohlášené pokrytí tex2html_wrap_inline51072 rhomboidy dvou typů. Případnou detailnější diskusi přenecháme čtenářům.

Nakonec ještě připomeneme, že podobně, jako Penroseovo dláždění mělo pětičetnou symetrii, má nyní diskutované pokrytí trojrozměrné grupu symetrií stejnou jako dvacetistěn (nebo dvanáctistěn či třicetistěn, jde pořád o tutéž grupu).

Poznámka. Důkaz ``hlavní krystalografické věty'' je založen na následujícím pozorování (viz podrobněji [22]; jiný důkaz viz [6]). Proveďme ho jen pro stacionární grupu tex2html_wrap_inline48168 .

Nechť g generuje nějakou zmíněnou cyklickou podgrupu tex2html_wrap_inline51546 . Vezměme nějakou dlaždici D obsahující počátek a označme jako O sjednocení všech obrazů g(D), tex2html_wrap_inline51554 této dlaždice. Periodičnost dláždění znamená, že lze najít dvourozměrnou mříž tvaru

  equation23140

takovou, že každý posun dlaždic z O o vektor z M tvoří podmnožinu původního dláždění. Zkuste odůvodnit podrobněji!gif

Takže libovolné otáčení tex2html_wrap_inline51554 přenáší mříž M na sebe, tudíž jeho matice vůči basi tex2html_wrap_inline51572 je tvořena celočíselnými prvky (příslušné sloupce udávají souřadnice vektorů tex2html_wrap_inline51574 ). Speciálně stopa otočení g je celočíselná!

Zkonfrontujme to ale s faktem, známým z kapitoly Skalární součin (vztah (4.26)), že stopa otočení o úhel tex2html_wrap_inline47490 je rovna

equation23147

Tedy tex2html_wrap_inline51580 musí být celé číslo, což dává uvedené hodnoty tex2html_wrap_inline51582 . ( tex2html_wrap_inline47306 )

picture23150

Na obrázku je část rozvinutého pláště pravidelného třicetistěnu. Připomeňme, že ostré úhly v kosočtvercích jsou rovny tex2html_wrap_inline51586 . ``Vystřihněte'' naznačený plášť, spojte kruhové otvory (obě nakreslené šipky se budou překrývat) a nakreslete chybějící část povrchu třicetistěnu!

(Odpověď. Chybí pěticípá hvězda s náramkem, tedy 10 kosočtverců.)


next up previous contents index
Next: Exponenciála matice Up: Dláždění a krystaly Previous: Penroseho pokrytí

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997