next up previous contents index
Next: Aplikace na soustavu diferenciálních Up: Letní semestr Previous: Příklad třírozměrného kvasikrystalu

Exponenciála matice

 

Motto. Jednoho dne kráčely funkce po Václavském náměstí. Najednou se před nimi objevila derivace a všechny funkce zašly plny strachu do musea, pouze sinus běhal periodicky dokola a tak ho derivace zkosila: byl z něho kosinus. Jedna funkce si dále vykračovala kolem svatého Václava.

``Ty se mě nebojíš?'' zeptala se derivace. ``Ne, já jsem exponenciála,'' odpověděla exponenciála a zintegrovala derivaci.

O exponenciále. Zavedení veledůležitého pojmu  exponenciály lze motivovat buď formálně matematicky - ``hledáme nejjednodušší příklad spojité grupy matic'' (tím je právě tex2html_wrap_inline51588 }) nebo fysikálně snahou řešit     vývojové (nečesky evoluční) rovnice.

Mnoho úloh lze totiž formulovat ve tvaru rovnice tex2html_wrap_inline51590 , kde tečka značí derivování podle času, tex2html_wrap_inline49152 je z nějakého vektorového prostoru tex2html_wrap_inline48468 , na němž účinkuje lineární operátor tex2html_wrap_inline47308 , jejíž řešení je (pozor, překvapení) tex2html_wrap_inline51598 . Takto lze zapsat soustavu n lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu (potom je tex2html_wrap_inline51602 a tex2html_wrap_inline47308 je vhodná matice tex2html_wrap_inline49578 ) a připustíme-li složitější (přesněji řečeno nekonečněrozměrné) prostory funkcí tex2html_wrap_inline51608 , lze do uvedeného schematu (zatím alespoň formálně) zařadit i známé rovnice vedení tepla 

equation26222

a Schrödingerovu rovnici   

equation26230

( tex2html_wrap_inline51610 označuje jak známo   Laplaceův operátor tex2html_wrap_inline51612 ).

Na to, abychom mohli psát řešení rovnice

equation26240

pro nějaký konstantní počáteční vektor tex2html_wrap_inline51614 (okrajová podmínka), je třeba umět spočítat exponenciálu čtvercové matice, což bude matice stejných rozměrů.

Definice. Zaveďme exponenciálu matice tex2html_wrap_inline47308 jako limitu (pro tex2html_wrap_inline51618 ) částečných součtů

equation26256

Abychom dokázali konvergenci, mluvme o   normě

equation26264

a o  metrice na prostoru tex2html_wrap_inline51620 všech matic typu tex2html_wrap_inline51622

equation26270

Cvičení na konvergenci řad, prvé lemma.

 

equation26277

Dokážeme matematickou indukcí: je-li tex2html_wrap_inline51624 prvek matice tex2html_wrap_inline51626 , je

equation26285

pro n=1 (začátek indukce) vztah dává tex2html_wrap_inline51630 , čemuž uvěří mnohý.

Další lemma. Je-li řada

equation26309

konvergentní, konverguje i řada tex2html_wrap_inline51632 (na každém místě matice) a

equation26316

(Platí v libovolném ``normovaném'' prostoru.)

Milý důsledek.

equation26328

Věta. Je-li tex2html_wrap_inline51634 , tak platí i

equation26344

Důkaz. Bude užitagif substituce m=p-n. Všimněte si, že poslední úprava (binomická formule) je možná jen proto, že tex2html_wrap_inline51634 .

equation26356

equation26375

Důsledek. tex2html_wrap_inline51644 je vždy regulární; tex2html_wrap_inline51646 .

Zobecnění. Vzorec pro exponenciálu součtu lze modifikovat i pro případ, že tex2html_wrap_inline47308 a tex2html_wrap_inline49538 navzájem nekomutují, ale

equation26394

oba komutují se svým komutátorem  tex2html_wrap_inline51652 (což je například je-li tex2html_wrap_inline47308 operátor souřadnice a tex2html_wrap_inline49538 operátor derivace). Pak platí

equation26410

Cvičení. Pokud tex2html_wrap_inline47308 i tex2html_wrap_inline49538 komutuje s  tex2html_wrap_inline51662 , potom

equation26422

tex2html_wrap_inline47710 Důkaz VýšE UVEDENéHO ZOBECNěNí se pohodlněji než roznásobováním řad provede následujícími operacemi:

Vyjádříme tex2html_wrap_inline51644 a tex2html_wrap_inline51668 ve tvaru

equation26436

kde tex2html_wrap_inline51618 je číslo jdoucí nade všechny meze a

equation26442

Chceme najít souvislost mezi

equation26448

a výrazem

equation26452

Budeme postupně přesouvat jednu betu za druhou nalevo (začneme s tou nalevo, názorná rovnice je pro N=5).

equation26456

Vzhledem k platnosti (přesného) vztahu (K je mezi 0 a N)

equation26458

( tex2html_wrap_inline51680 také komutuje s  tex2html_wrap_inline51682 , dokažte) lze také psát

equation26461

přičemž závorku lze přesouvat na konec výrazu (komutuje s  tex2html_wrap_inline47898 i tex2html_wrap_inline51680 ). V konečném důsledku máme (první betou přeskakujeme N-1 alef, druhou N-2 alef atd.)

equation26464

Uvědomíme-li si, že

equation26466

lze závorky ve tex2html_wrap_inline51692 psát jako (odchylky o(1/N) již nepíšeme, protože zřejmě po roznásobení dají o(1))

equation26472

což se dá se stejnou chybou psát jako

equation26482

přičemž exponent má zde hodnotu tex2html_wrap_inline51698 a výraz se dá napsat jako

equation26488

čímž je formule dokázána.

Věta. Nechť tex2html_wrap_inline51700 . Pak tex2html_wrap_inline51702 .

Důkaz.

equation26502

Využití. Nechť vlastní vektory tex2html_wrap_inline51704 tvoří basi uvažovaného vektorového prostoru tex2html_wrap_inline51706 . Předchozí věta dává návod k výpočtu tex2html_wrap_inline51644 v tomto případě: vůči této basi vlastních vektorů je totiž operátor

equation26521

vyjádřen diagonální maticí

equation26536

kde tex2html_wrap_inline51710 jsou vlastní čísla příslušející tex2html_wrap_inline51704 .

Zobecnění. Nechť tex2html_wrap_inline51714 . Pak

equation26560

Důkaz.

equation26568

Poznámka. Vidíme, že exponenciála lineárního zobrazení f, definovaná samozřejmě jako

equation26590

nezávisí na volbě base a je tedy dobře definovaná.

Příklad. Matice tex2html_wrap_inline47308 má vlastní čísla 1, 2, 3, je-li

equation26596

Najdeme-li příslušné vlastní vektory

equation26604

platí

equation26623

jinými slovy

equation26640

kde matice tex2html_wrap_inline49548 má ve sloupcích souřadnice vlastních vektorů. Proveďte podrobně.

Cvičení. Dokažte, že exponenciála cirkulantu je cirkulant. Obecněji, jakákoliv funkce daná konečnou či nekonečnou mocninnou řadou, kde proměnná je cyklickou záměnou souřadnic, je ``cirkulantem'' (konvolučním operátorem ve smyslu kapitoly (16.7)).

Cvičení. Spočtěte derivaci maticové funkce tex2html_wrap_inline51722 podle proměnné t. (Výsledek vypadá stejně jako pro číselné tex2html_wrap_inline47308 .)

Cvičení. Dokažte následující formuli pro výpočet inversní matice: Jsou-li reálné části vlastních čísel matice tex2html_wrap_inline47308 kladné, tak platí

equation26666

Návod. Aplikujte matici tex2html_wrap_inline47308 na integrál napravo a zaměňte pořadí aplikace integrálu a matice tex2html_wrap_inline47308 ; to dává integrál z derivace. Použitím Newton-Leibnizovy formule (výše uvedený předpoklad o vlastních číslech zajištuje exponenciálně rychlé ubývání integrandu!) dostaneme hledaný výsledek.

Všimněte si, že tato formule je spojitou analogií výpočtu tex2html_wrap_inline51734 pomocí nekonečné geometrické řady tex2html_wrap_inline51736 .

Poznamenejme, že výše uvedená formule je často používána, třeba v teorii pravděpodobnosti při zkoumání Brownova pohybu nebo kupříkladu při výpočtech propagátorů pomocí Feynmanova integrálu v kvantové teorii. ( tex2html_wrap_inline47308 pak označuje ve většině případů Laplaceův operátor).




next up previous contents index
Next: Aplikace na soustavu diferenciálních Up: Letní semestr Previous: Příklad třírozměrného kvasikrystalu

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997