next up previous contents index
Next: Vztah stopy a determinantu Up: Exponenciála matice Previous: Aplikace na soustavu diferenciálních

Heisenbergův obraz

 V této podsekci vás pouze informujeme, že operátorová rovnice

equation26716

equation26721

o čemž se lehce přesvědčíte, umíte-li derivovat součin operátorů.

Uvedené zobrazení tex2html_wrap_inline51748 na prostoru matic

equation26730

je exponenciálou t-násobku jiného zobrazení tex2html_wrap_inline51752

equation26738

Nadpis je volen podle pojmu v kvantové mechanice, kterou lze (kromě Schr”dingerova pojetí s proměnným stavovým vektorem a konstantními operátory) formulovat ekvivalentně v jazyce Heisenberga: stavový vektor je konstantní a operátory se vyvíjejí podle

equation26743

s týmž hamiltoniánem, jako u Schr”dingera. (Naše tex2html_wrap_inline51754 bylo tex2html_wrap_inline51756 .)

Záměna exponenciál. Nedávno jsme ukázali, že pokud tex2html_wrap_inline47308 i tex2html_wrap_inline49538 komutují se svým komutátorem, platí

equation26753

Pouhým dosazením z této rovnice ověříte, že za daných předpokladů platí

equation26761

Tento vzorec má celkem jednoduché zobecnění i v obecném případě, tj. aniž předpokládáme cokoli o komutátorech:

  equation26769

Vzorec lehce dokážete, uvědomíte-li si, že v závorce na pravé straně je matice přiřazená matici tex2html_wrap_inline49538 exponenciálou zobrazení ``komutátor matice tex2html_wrap_inline47308 s danou maticí'', pro které jsme právě našli explicitní vyjádření

equation26796

pomocí něhož dokazované tvrzení převedeme na

equation26803

což je vzorec nám známější v označení tex2html_wrap_inline51766 tj. tex2html_wrap_inline51768

equation26815

a tento vzorec užíváme k výpočtu exponenciály matice tex2html_wrap_inline49980 vyjádřené jako tex2html_wrap_inline51772 s podobnou maticí tex2html_wrap_inline49538 (pokud možno v Jordanově tvaru). (Je pravdivý proto, že při rozpisu pravé strany do řady se vykrátí všechny vnitřní páry tex2html_wrap_inline51776 a zbudou jen ty vnější.)



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997