next up previous contents index
Next: Náhrada komplexního čísla maticí Up: Exponenciála matice Previous: Heisenbergův obraz

Vztah stopy a determinantu

 

equation26832

tex2html_wrap_inline47710 Krásné TVRZENí, NENí-LIž PRAVDA?

Hlavní pozorování. tex2html_wrap_inline51780

equation26845

(Symbol tex2html_wrap_inline51782 označuje matici, jejíž všechny prvky jsou o(t), to jest nějaké funkce takové, že platí následující vztah.)

equation26853

Důkaz lemmatu. Sami jistě ověříte tex2html_wrap_inline51786 . Dále si uvědomíme, že neidentické permutace přispějí k determinantu polynomem, z něhož lze vytknout tex2html_wrap_inline51788 , abychom provedli tyto úpravy:

equation26860

equation26872

Důkaz věty nyní dokončíme dvěma způsoby.

Cvičení. Dokažte formuli

equation26919

tex2html_wrap_inline47710 Návod. Pište tex2html_wrap_inline51798 a nahlédněte do odstavce logaritmus matice níže.

Poznámka. Na nekonečněrozměrných prostorech se často obtížně sčítá přes všechny permutace, a tak je vztah

equation26931

nadějnějším kandidátem pro definici determinantu, alespoň pro některé matice; stopa se počítá i v nekonečné dimensi jednodušeji. Verse uvedená ve cvičení je zvlášť často používána, nověji třeba v teorii chaosu.



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997