next up previous contents index
Next: Gaussova křivka Up: Exponenciála matice Previous: Taylorův vzorec

Poissonovo rozdělení

 

( tex2html_wrap_inline47304 ) Studujme model porodnosti v Praze (stejně tak ale lze mluvit o dopravních nehodách, překlepech písařky, počtech částic kosmického záření zaznamenaných přístrojem atd.), kdy se za čas t narodí průměrně tex2html_wrap_inline51830 dětí;gif jednotlivá narození jsou nezávislými jevy.

Začněme se znalostí pravděpodobností tex2html_wrap_inline51834 , že do času t=0 už bylo narozeno n dětí, je tedy známa nějaká posloupnost tex2html_wrap_inline51840 , kterou můžeme normovat vztahem tex2html_wrap_inline51842 . Podobně pravděpodobnost, že v čase t bylo narozeno n dětí, pišme jako tex2html_wrap_inline51848 . Mluvíme tedy o prostoru posloupností a operátorech na něm.

Chceme-li spočítat pravděpodobnost tex2html_wrap_inline51850 , že do času t+dt bude již narozeno n dětí, dostaneme ji jako součet pravděpodobností, že do času t bylo narozeno n-1 dětí tex2html_wrap_inline51860 a v době (t,t+dt) se dítě narodilo tex2html_wrap_inline51864 a že do času t bylo narozeno n dětí tex2html_wrap_inline51870 a v intervalu (t,t+dt) se nic nenarodilo tex2html_wrap_inline51874 . Je-li čas dt krátký, lze totiž zanedbat možnost, že se může narodit více dětí než jedno. Požadavek, že průměrně se za t narodí tex2html_wrap_inline51830 dětí, se transformuje na pravděpodobnost tex2html_wrap_inline51882 , že se nějaké narodí za čas dt. Máme tedy

equation27012

nebo v matematičtějším hávu

equation27015

Zavedením operátoru diference tex2html_wrap_inline51886 tentokrát jako

equation27018

přepíšeme rovnici jako

equation27021

a řešení pomocí exponenciály

equation27027

nabude konkrétního tvaru

equation27033

Navíc, pro počáteční stav tex2html_wrap_inline51888 dostáváme přímo   Poissonovo rozdělení

equation27042

Důkaz. V čase t=0 je tex2html_wrap_inline51892 , stačí tedy ověřit, že zadané tex2html_wrap_inline51848 splňuje diferenciální rovnici výše. Opravdu, obě strany se rovnají:

equation27047

equation27058

Cvičení. Ukažte, že

equation27066

Mimo jiné, platí i rovnost

equation27073

Gauss by po nás mohl hodit houbu, kdybychom se v této souvislosti nezmínili také o Gaussově normálním rozdělení.



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997