next up previous contents index
Next: Logaritmus matice Up: Exponenciála matice Previous: Poissonovo rozdělení

Gaussova křivka

Řešíme-li rovnicigif vedení tepla (místo laplaciánu píšeme jen druhou derivaci podle x)

equation27075

dostaneme řešení (v t>0) pro danou počáteční podmínku T(0,x') ve tvaru

equation27081

Je také vidět, že není možné hledat teplotu v záporných časech; souvisí to s tím, že zatímco růstem času se teplota ``zahlazuje'', jeho poklesem by se ``rozrůzňovala'' do neúnosných mezí. Někdo možná již cosi slyšel o ireversibilitě rovnice vedení tepla.

Můžeme se také podívat (pro změnu opět zcela rigorosně) na diskrétní odnož druhé derivace: prozkoumejme operátor tex2html_wrap_inline51610 na prostoru posloupností

equation27088

Operátor tex2html_wrap_inline51610 lze tedy psát jako

equation27092

kde tex2html_wrap_inline51886 je operátor prvé diference

equation27097

Exponenciálu t-násobku tohoto operátoru analyzuje následující věta.

Věta. Nechť tex2html_wrap_inline51912 označuje operátor posunutí (posloupnosti) o k, tzn. tex2html_wrap_inline51916 . Potom platí vztah

equation27101

kde posloupnost F s časově proměnnými prvky tex2html_wrap_inline51922 řeší diferenciální rovnici

equation27105

při počáteční podmínce tex2html_wrap_inline51924 .

Důkaz. Z platnosti diferenciální rovnice vyplývá

equation27107

a v posledním tvaru lze také přesunout tex2html_wrap_inline51610 za sumu, protože komutuje s každým tex2html_wrap_inline51912 . Vidíme, že derivace (levá strana) vyšla tak, jak měla.



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997