next up previous contents index
Next: Hamiltonovy rovnice pro oscilátor Up: Exponenciála matice Previous: Gaussova křivka

Logaritmus matice

 Hledáme matici tex2html_wrap_inline47308 splňující

equation27115

pro danou regulární matici tex2html_wrap_inline49538 . Omezíme se na případ, kdy se tex2html_wrap_inline49538 dosti málo liší od tex2html_wrap_inline49442 ; v ostatních případech vyjádříme tex2html_wrap_inline51942 s dostatečně velkým n a bude tex2html_wrap_inline51946 .

Abychom to mohli provést, měli bychom ještě vysvětlit, jak spočítat n-tou odmocninu z  tex2html_wrap_inline49538 , ale to ponechme na jindy.

Krátce řečeno, logaritmus matice tex2html_wrap_inline49538 získáme pomocí Taylorovského vztahu pro logaritmus čísla

equation27128

Za y totiž dosadíme tex2html_wrap_inline51956 .

Co se týče konvergence, pocvičte se z analýzy: je-li pro 0<q<1

equation27137

a tudíž je řada pro logaritmus absolutně konvergentní ve smyslu

equation27147

a dosadíme-li za tex2html_wrap_inline47308 hodnotu

equation27167

pak platí tex2html_wrap_inline51962 .

Protože dobře víme, že pro čísla udávají řady dvě navzájem inversní funkce, musí vyjít rovnost dosazením řad do sebe, ale poněvadž pro výpočty při dosazování řad matic do sebe platí zcela stejná pravidla jako pro řady číselné, vyjde uvedený vztah i pro matice.

V blízkém okolí autorů neumí nikdo dokázat inversní charakter obou řad přímým dosazením jedné do druhé, a tak ani nevíme, zda to jde nějak jednoduše. Po vydání knihy se objevily v našem okolí důkazy, například v časopise Obrázky žlutých růží číslo 18 v článku Exponenciála versus logaritmus

Příklady.

equation27179

Nepatří proto, že mají nekladná vlastní čísla (druhá z matic je dokonce singulární).



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997