next up previous contents index
Next: Lieova algebra Up: Exponenciála matice Previous: Logaritmus matice

Hamiltonovy rovnice pro oscilátor

Z mechaniky už možná znáte Hamiltonovy rovnice pro soustavu hmotných bodů ve tvaru

equation27194

kde tex2html_wrap_inline51966 .

Vyšetříme zde případ, kdy hamiltonián H(p,q) je kvadratickou funkcí proměnných q (``souřadnice'') a p (``impuls''). Jde o tzv. harmonický oscilátor (přesněji o soustavu spřažených oscilátorů - představujte si třeba soustavu hmotných bodů všelijak propojených nehmotnými pružinami). Případ nekvadratického hamiltoniánu vede již mimo lineární algebru (do geometrie - viz také učebnice mechaniky či třeba knihu autorů DFN[6]).

Předpokládáme tedy Hamiltonovu funkci ve tvaru

equation27201

kde tex2html_wrap_inline51974 jsou nějaké matice, přičemž můžeme předpokládat symetrii matic tex2html_wrap_inline49538 a tex2html_wrap_inline51978 (nakoukni do úvodu ke kapitole Kvadratické formy). Potom lze rovnice nahoře napsat ve tvaru

equation27211

kde x=(q,p) a matice tex2html_wrap_inline47308 je dána vztahem

equation27219

neboli splňuje vztah (ověřte, procvičte se trochu v násobení matic!)

equation27229

tzn. tex2html_wrap_inline51984 je symetrická matice. Matice tex2html_wrap_inline51986 (obecněji tex2html_wrap_inline51722 je potom   symplektická matice (viz příklady grup na závěr zimního semestru a též následující kapitolu), což ukážeme takto: vztah

equation27253

přepíšeme jako

equation27259

Vezmeme exponenciálu

equation27266

vynásobíme to maticí tex2html_wrap_inline49980 zleva, pak maticí tex2html_wrap_inline51112 zprava a vskutku dostáváme požadovaný vztah

equation27275

Jednoparametrická symplektická grupa tex2html_wrap_inline51722 tedy popisuje vývoj oscilátoru v čase.

V typické aplikaci je tex2html_wrap_inline51996 tex2html_wrap_inline51998 a tex2html_wrap_inline49538 je positivně definitní matice (nakoukni do kapitoly o kvadratických formách ohledně positivní definitnosti). Není pak těžké ukázat, že všechna vlastní čísla matice tex2html_wrap_inline47308 jsou ryze imaginární (neboť vlastní čísla matice tex2html_wrap_inline52004 a tedy i tex2html_wrap_inline52006 jsou negativní!). Dostáváme potom tzv. kvasiperiodický pohyb (periodický v případě jednoho hmotného bodu), kde jednotlivé frekvence jsou dány příslušnými vlastními čísly matice tex2html_wrap_inline49538 . Podrobnější informaci viz učebnice mechaniky. ( tex2html_wrap_inline47306 )

Úloha 1.

Úloha 2. Závaží visí u stropu místnosti připevněno k němu n gumičkami (či pružinkami), kde tex2html_wrap_inline52018 Další provázek vede od závaží k osobě u podlahy, která se zatáhnutím za provázek snaží závaží periodicky rozhýbat. Z kolika míst na podlaze resp. stěně se jí to může podařit? Závisí tento počet na n? Spočtěte příslušné periody a určete příslušná místa.

Úlohu lze zobecnit i pro více závaží a provázků (a osob).


next up previous contents index
Next: Lieova algebra Up: Exponenciála matice Previous: Logaritmus matice

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997