next up previous contents index
Next: Killingova forma a metrika Up: Letní semestr Previous: Hamiltonovy rovnice pro oscilátor

Lieova algebra

Místo složitých objektů, jakými jsou grupy tex2html_wrap_inline51224 a další, je možné zkoumat objekty jednodušší, totiž lineární, nezajímáme-li se právě o rozdíly mezi tex2html_wrap_inline52024 a tex2html_wrap_inline51190 : druhá z nich je souvislá  , lze se plynule dostat od jednoho jejího prvku ke kterémukoli jinému, první z nich je nesouvislá, skládá se ze dvou oddělených komponent  (zrcadlící a nezrcadlící transformace).

Definice. Lineární prostor tex2html_wrap_inline52028 , na němž je definována další bilineární operace [A,B], dále zvaná  komutátor, splňující vztahy

equation27301

(druhému se říká   Jacobiho identita) nazveme   Lieovou algebrou.

Úkol. Ukažte, že v Lieově algebře matic s komutátorem definovaným jako [A,B]=AB-BA je splněna (kromě triviálního vztahu [A,B]=-[B,A]) také Jacobiho rovnost.

Příklad. Zkoumejme Lieovu algebru, které říkejme tex2html_wrap_inline52036 , jejíž prvky pišme jako antisymetrické matice s obvyklým komutátorem

equation27308

Ověřte podrobněji, že

equation27322

Vzpomeneme-li si nyní na definici vektorového součinu tex2html_wrap_inline52038 , najdeme zajímavý isomorfismus

equation27333

Znáte Jacobiho tožděstvo (identita) pro vektorový součin?

Je vidět role dimense (3) na hladký průběh. Lze samozřejmě mluvit i kupř. o šestirozměrném prostoru antisymetrických matic tex2html_wrap_inline52042 , ale přec jen již nebude isomorfní tex2html_wrap_inline52044 ( tex2html_wrap_inline52046 ). V řeči funkcionální analýzy  je možné dát doslovný smysl komutátoru dvou matic i vektorovému součinu vektoru nabla tex2html_wrap_inline52048 s vektorem tex2html_wrap_inline52050 , čemuž říkáme rotace vektoru , pouze však s použitím nekonečnědimensionálních prostorů.

Podívejme se na pár daších příkladů Lieových algeber a začněme přemýšlet o jejich vazbách na stejnojmenné Lieovy grupy.

Věta. Uvedené lineární prostory jsou uzavřené na operaci komutování.

Důkaz. Tedy přesvědčte nejen sebe, ale i své nevěřící kamarády, že platí např. implikace

equation27393

Pojem. ( tex2html_wrap_inline47304 ) Nechť tex2html_wrap_inline47510 je grupa matic.   Infinitesimálním generá torem grupy tex2html_wrap_inline47510 nazveme množinugif tex2html_wrap_inline52092 matic tex2html_wrap_inline47308 , pro něž

equation27419

Poznámka. V pokročilejších kursech geometrie se tex2html_wrap_inline52028 obvykle definuje abstraktněji jako ``tečný prostor ke  tex2html_wrap_inline47510tex2html_wrap_inline49442 '' v prostoru všech matic: prvky grupy, které mají infinitesimálně blízko k jednotkové matici, se dají napsat jako ( tex2html_wrap_inline52106 je base generátoru)

equation27429

Souvislost. Vtip je v tom, že infinitesimální generátor grupy matic tex2html_wrap_inline47510 je Lieova algebra      (a v uváděných případech právě ta stejnojmenná, psaná švabachem, gotickým písmem neboli německou frakturou) a že lze navíc dobře vyložit roli komutátoru.

Důkaz pro obecnou grupu. Je třeba ukázat dvě zásadní věci: uzavřenost na sčítání a komutování.

  1. Zkoumejme výrazy typu ( tex2html_wrap_inline51618 )

    equation27453

    a uvědomme si, že tex2html_wrap_inline52116 tedy je podgrupa tex2html_wrap_inline47510 , poněvadž pro každé t jde exponenciála aproximovat s libovolnou přesností (pomocí dostatečně velkého N) součinem prvků typu tex2html_wrap_inline52124 , které leží (přesně) v  tex2html_wrap_inline47510 (a předpokládáme cosi jako uzavřenost grupy v obvyklé topologii dané např. metrikou tex2html_wrap_inline52128 ).

  2. Podívejme se na výrazy typu ( tex2html_wrap_inline51618 )

    equation27474

    equation27485

    Lze tedy opět tex2html_wrap_inline52132 vyjádřit s jakoukoliv přesností pomocí součinu prvků z  tex2html_wrap_inline47510 ; pokud je t<0, stačí vyměnit písmena tex2html_wrap_inline47308 a tex2html_wrap_inline49538 nalevo.

    Příklad. Ilustrujme si to na příkladě algebry tex2html_wrap_inline52036 : otočíme-li systém o malý úhel tex2html_wrap_inline47898 kolem osy x, poté o malý úhel tex2html_wrap_inline51680 kolem osy y a pak zpět, ovšem v tomtéž pořadí (nejprve o  tex2html_wrap_inline52152 kolem x a pak o  tex2html_wrap_inline52156 kolem y), systém se nám otočí o malinký úhel tex2html_wrap_inline52160 (až na konvenční znaménko) kolem osy z.

Cvičení. Generátorem grupy otáčení kolem nějaké zvolené osy je (lineární obal) otočení o pravý úhel (podél zmíněné osy). Propočtěte (stačí toto dokázat v euklidovské rovině; dostáváme takto i vztahy mezi exponenciálou matice tex2html_wrap_inline52164 a funkcemi tex2html_wrap_inline52166 a tex2html_wrap_inline52168 , tedy vlastně definici komplexní exponenciály jaksi ``bez'' zavedení komplexních čísel.

Cvičení. Určete generátor grupy všech regulárních horních trojúhelníkových matic.

(Prostor všech horních trojúhelníkových matic: Na jednu stranu je jasné, že exponenciála trojúhelníkové matice je regulární trojúhelníková matice; na druhé straně generátor může obsahovat pouze horní trojúhelníkové matice, což nahlédneme snadno, napíšeme-li si první člen rozvoje tex2html_wrap_inline52170 pro malé t.)

Souvislost algeber se stejnojmennými grupami. Abychom ukázali, v jakém smyslu Lieovy algebry odpovídají grupám stejného jména, předefinujme infinitesimální generátor grupy matic tex2html_wrap_inline47510 jako množinu všech možných tex2html_wrap_inline52176 , kde pro tex2html_wrap_inline52178 je tex2html_wrap_inline52180 , tj. tex2html_wrap_inline50370 je derivovatelná křivka po grupě, a tex2html_wrap_inline52184 . (Ekvivalence plyne z toho, že za tuto křivku lze vždy zvolit tex2html_wrap_inline52186 .)

Tak například, křivka tex2html_wrap_inline50370 po grupě tex2html_wrap_inline51194 matic splňujících tex2html_wrap_inline52192 po zderivování a dosazení t=0 dá

equation27521

tj. nutnou podmínku antisymetrie tex2html_wrap_inline52176 , která je zároveň postačující.

equation27539

Cvičení. Zderivováním kritérií pro členství v dalších Lieových grupách (viz Cartaniáda) získejte rovnice stejnojmenných Lieových algeber. Připomenete si kupř. též následující vzorec, s nímž se v pozměněných tvarech znáte.

equation27555




next up previous contents index
Next: Killingova forma a metrika Up: Letní semestr Previous: Hamiltonovy rovnice pro oscilátor

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997