next up previous contents index
Next: Teorie representací Up: Lieova algebra Previous: Lieova algebra

Killingova forma a metrika

 

Mějme lineární prostor tex2html_wrap_inline52198 všech matic n krát n. Přirozený isomorfismus do tex2html_wrap_inline52204 dává následující předpis pro skalární součin dvou matic:

equation27566

Cvičení.

equation27575

Z tohoto druhého vyjádření pro tex2html_wrap_inline52206 vidíme některé význačné vlastnosti takto zavedeného skalárního součinu, např. vztahy (které použijeme později v odstavci polární rozklad)

equation27589

pro libovolnou ortogonální matici tex2html_wrap_inline52208 . (Dokažte s použitím cykličnosti stopy). Tento vztah říká, že metrika

equation27611

kde tex2html_wrap_inline52210 je invariantní vůči grupě tex2html_wrap_inline52212 . Chápeme-li ji jako metriku na grupě tex2html_wrap_inline52214 , nazývá se Killingovou metrikou.

A co je Killingova forma na Lieově algebře?

Ta je opět, v konkrétním příkladě tex2html_wrap_inline52216 , dána vztahem

equation27626

(Nezapomeňme, že tex2html_wrap_inline52218 platí pro všechny tex2html_wrap_inline52220 .)

Ukazuje se, že nejde o jen tak ledajaký skalární součin na tex2html_wrap_inline52216 (máme ho koneckonců stále na celém tex2html_wrap_inline52198 ), neboť tento skalární součin na tex2html_wrap_inline52216 ``respektuje navíc strukturu Lieovy algebry'' ve smyslu následujících tvrzení (které jsou ekvivalentní):

Tvrzení 1.

Pro všechna tex2html_wrap_inline52228 a všechna tex2html_wrap_inline52230 platí

equation27647

(říkáme, že Killingova forma je antisymetrická vůči operaci komutování s  tex2html_wrap_inline52232 ; uvedená rovnost se ostatně bere za základ definice Killingovy formy i v případě obecné Lieovy algebry)

Tvrzení 2. Zobrazení

equation27662

je isometrie pro každé tex2html_wrap_inline52234 .

Cvičení. Dokažte tvrzení 1 (prostě dosaďte za tex2html_wrap_inline52236 i za komutátor a využívejte toho, že tex2html_wrap_inline52218 apod.).

Dokažte i tvrzení 2: zde je účelné konsultovat též odstavec 11.2 o Heisenbergově obrazu a příslušné analytické úvahy (ať již provedení limit či sestavení diferenciální rovnice) okopírovat z důkazu věty o determinantu exponenciály.



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997