next up previous contents index
Next: Isomorfnost některých Lieových algeber Up: Lieova algebra Previous: Killingova forma a metrika

Teorie representací

Pojmy analogické grupě. ( tex2html_wrap_inline47304 ) Lieovu algebru tex2html_wrap_inline52028   nazýváme komutativní, pokud tex2html_wrap_inline52244 a taková algebra odpovídá komutativní grupě. Tento případ není příliš zajímavý.

Centrum  algebry Lieovy je (analogicky centru grupy) množina tex2html_wrap_inline52246 těch prvků tex2html_wrap_inline52248 , že tex2html_wrap_inline52250 , tj. komutují se všemi prvky algebry.

Lieovou podalgebrou  nazýváme (analogicky podgrupě) podprostor tex2html_wrap_inline52028 uzavřený na komutování. Máme dokonce analogii normální podgrupy - říká se mu ideál Lieovy algebry  a je to podprostor tex2html_wrap_inline52254 takový, že tex2html_wrap_inline52256 . Elementárním příkladem ideálu je centrum algebry; jiným důležitým příkladem je komutant  dané Lieovy algebry, což je množina všech prvků tvaru [x,y], tex2html_wrap_inline52260 . Ideál je to proto, že [[x,y],j] opět leží v komutantu, protože je tvaru komutátoru dvou prvků.

Věty. Zavedené pojmy mimo jiné implikují, že pokud je tex2html_wrap_inline48168 normální podgrupou grupy tex2html_wrap_inline47510 , pak je tex2html_wrap_inline52268 ideálem v  tex2html_wrap_inline52270 . Jestliže je tex2html_wrap_inline47510 souvislá, pak

equation27695

Pro dvě grupy tex2html_wrap_inline52282 je

equation27705

infinitesimálním generátorem jejich direktního součinu direktní součet jejich infinitesimálních generátorů - kde prvky tex2html_wrap_inline52292 komutují s prvky z  tex2html_wrap_inline52294 , a tak jsou tex2html_wrap_inline52296 ideály v  tex2html_wrap_inline52298 .

Representace.  Nechť tex2html_wrap_inline52300 označuje jedno z klasických těles tex2html_wrap_inline52302 nebo tex2html_wrap_inline48168 (kvaterniony) a tex2html_wrap_inline47510 je nějaká grupa. Pak lineární representacígif grupy tex2html_wrap_inline47510 nazýváme konečněrozměrný lineární prostor tex2html_wrap_inline48468 nad tělesem tex2html_wrap_inline52300 , na němž je pro každý prvek tex2html_wrap_inline52334 definována (stejně značená) funkce, splňující

Jinými slovy, je zadán morfismus grup

equation27753

Vybereme-li basi ve tex2html_wrap_inline48468 , lze si představit, že tex2html_wrap_inline52360 nabývá hodnot ve tex2html_wrap_inline52362 . V tomto případě mluvíme o maticové representaci.

Píšeme-li v případě kvaternionů matice vlevo od tex2html_wrap_inline49152 , je rozumné mít ve tex2html_wrap_inline48468 násobení skalárem zprava ( tex2html_wrap_inline48468 je pak pravý modul nad tex2html_wrap_inline48168  ). Naštěstí lze ale definovat i násobení skalárem zleva (pruh musíme přidat na to, aby platilo tex2html_wrap_inline52372 )

equation27771

a tak lze levý modul převrátit na pravý a naopak. Využijeme toho, že tex2html_wrap_inline52374 , kde tex2html_wrap_inline52376 je obvyklé sdružení kvaternionu

equation27777

Máme-li representace tex2html_wrap_inline49682 , lze generovat složitější representace ve tvaru direktního součtu dvou (či více) prostorů, na nichž grupa účinkuje podle

equation27781

a podobně lze získat representaci ve formě tensorového (resp. symetrisovaného resp. antisymetrisovaného) součinu dvou prostorů, na který grupa účinkuje dle pravidla

equation27791

(Zde nejde o nic jiného, než jak se transformují spinory - resp. tensory - s více indexy.) Ale také lze získat representaci na duálním prostoru tex2html_wrap_inline52380 podle vzorce (zde zase jde - v řeči budoucího jazyka - o transformaci tensorů/spinorů s indexy dole/nahoře)

equation27802

Strukturní zobrazení. Nyní se podíváme, proč stačí pracovat s komplexními representacemi. Reálnou representaci tex2html_wrap_inline47328 lze převést na komplexní tex2html_wrap_inline49062 , přičemž působení grupy je podle přirozené formule ( tex2html_wrap_inline52386 )

equation27820

Zdá se, že se ale o cosi okrádáme. Již ``malý'' prostor tex2html_wrap_inline47328 byl uzavřen na působení grupy a my jsme ho zbytečně zvětšili. Naúčtujeme si to tak, že povíme, že existuje strukturní zobrazení    tex2html_wrap_inline52390 (v následujícím vzorci jsou tex2html_wrap_inline52392 reálné vektory)

equation27839

které komutuje s působením grupy ( tex2html_wrap_inline52394 ), je antilineární ( tex2html_wrap_inline52396 , tex2html_wrap_inline52398 ) a jeho druhá mocnina je plus minus identický operátor (v tomto případě plus) ( tex2html_wrap_inline52400 , zkráceně tex2html_wrap_inline52402 ), což jsou tři vlastnosti, definující strukturní zobrazení.

Naopak, máme-li komplexní representaci se strukturním zobrazením j, rekonstruujeme reálnou representaci rozkladem komplexního prostoru tex2html_wrap_inline49062 považovaného za tex2html_wrap_inline52408 na dva podprostory, odpovídající vlastním číslům 1 resp. -1 (operátor, splňující tex2html_wrap_inline52414 , jiná vlastní čísla nemá).

Obdobně lze převést kvaternionickougif   representaci tex2html_wrap_inline52416 na komplexní tex2html_wrap_inline52418 ; kvaternionický vektor budeme psát jako tex2html_wrap_inline52420 , kde tex2html_wrap_inline49152 a tex2html_wrap_inline52424 jsou komplexní vektory.

I nyní se o cosi okrádáme: prostor jsme sice zbytečně nezvětšili, ale původní representace byla tex2html_wrap_inline48168 -lineární, zatímco nová je jenom tex2html_wrap_inline47398 -lineární. tex2html_wrap_inline48168 -linearitu si zrekonstruujeme tak, že řekneme, že existuje strukturní zobrazení ( tex2html_wrap_inline52392 jsou zde komplexní vektory)

equation27891

Lehce ověříte antilinearitu, komutování s působením grupy (zobrazení j je vlastně násobení j - shoda písmen čistě náhodná - zprava, což komutovalo s  tex2html_wrap_inline47510 díky tex2html_wrap_inline48168 -linearitě) a rovnost tex2html_wrap_inline52442 .

Naopak lze zpětně zrekonstruovat representaci tex2html_wrap_inline52444 z dané tex2html_wrap_inline52446 , která připouští strukturní zobrazení s  tex2html_wrap_inline52442 .

Representace, která je direktním součtem dvou prostorů (representací) tex2html_wrap_inline52450 , disponujících strukturními zobrazeními se stejnými tex2html_wrap_inline52452 , připouští strukturní zobrazení tex2html_wrap_inline52454 se stejným tex2html_wrap_inline52456 .

Tensorový součin dvou representací tex2html_wrap_inline52458 (může jít i o (anti)symetrisovaný) se strukturními zobrazeními tex2html_wrap_inline52460 toleruje strukturní zobrazení tex2html_wrap_inline52462 se znakem tex2html_wrap_inline52464 .

Ukážeme jednoduchý příklad. Grupa tex2html_wrap_inline52466 má fundamentální representaci kvaternionickou (vždyť jde nakonec o grupu ``jednotkových'' kvaternionů (s jednotkovou normou)), kterou si představíme jako dvousložkové komplexní spinvektory tex2html_wrap_inline52468 , A=0,1, mající strukturní zobrazení s  tex2html_wrap_inline52442 . Symetrisovaný tensorový součin, obsahující dvouindexové spinory tex2html_wrap_inline52474 , bude tedy disponovat strukturním zobrazením s  tex2html_wrap_inline52476 , tedy budeme moci požadovat podmínky reálnosti (invariantní vůči působení grupy)

equation27915

Není se čemu divit, spinor tex2html_wrap_inline52480 , který svážeme maximálními podmínkami (symetrie a uvedená samodružnost), je informačně totožný s (trojrozměrným) vektorem. Proto se částicím se spinem rovným jedné říká vektorové.

equation27923


next up previous contents index
Next: Isomorfnost některých Lieových algeber Up: Lieova algebra Previous: Killingova forma a metrika

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997