next up previous contents index
Next: Maximální tory Up: Lieova algebra Previous: Isomorfnost některých Lieových algeber

Kompaktní grupy

{V následujících odstavcích váženým čtenářům naznačíme, proč jiné kompaktní prosté Lieovy algebry než ty, o nichž jsme mluvili v Cartaniádě, neexistují.

V Lieově algebře, příslušné dané kompaktní Lieově grupě tex2html_wrap_inline47510 zavedeme skalární součin, invariantní vůči transformacím grupy. Není to nic těžkého, vzpomeneme-li si na invariantní integraci, o které jsme se již zmínili.gif Jako každá hezká věcička, i ona musí být někdy užitečná. Ten   okamžik přichází.

Chceme, aby skalární součin dvou matic algebry byl invariantní vůči transformacím grupy v tzv. přidružené representaci  , což je representace, která jakožto prostor splývá s algebrou Lieovou (její dimense je tedy rovna dimensi grupy; matice z ní značme tex2html_wrap_inline47308 , tex2html_wrap_inline49538 ...) a prvek grupy tex2html_wrap_inline47510 na ní účinkuje podle

equation28153

Zkontrolujte, že tex2html_wrap_inline52666 . Invariance znamená požadavek, aby

equation28165

Pomocí invariantní integrace takový skalární součin lze získat z libovolného   (neinvariantního) skalárního součinu s ``ustředněním přes grupu''

equation28182

Pak zjevně platí (první ``rovná-se'' je oprávněné díky invarianci integrace vůči substituci tex2html_wrap_inline52672 )

equation28196

Abychom řekli něco konkrétního o způsobu invariantní integrace: zapíšeme-li matici tex2html_wrap_inline52678 ve tvaru

equation28245

kde meze tex2html_wrap_inline52680 jsou zřejmé z integrálu níže, lze invariantní integraci napsat jako

equation28253

Co se týče jednoznačnosti invariantního skalárního součinu: lze ho vždy násobit nějakou konstantou, ale pro prosté grupy je jinak určen jednoznačně. Opravdu, kdybychom měli dva skalární součiny tex2html_wrap_inline52684 , mohli bychom vzít (také invariantní) kombinaci

equation28265

s nejmenším možným kladným tex2html_wrap_inline49990 , při němž všechny tex2html_wrap_inline52688 jsou ještě nezáporné, ale už pro některé nenulové tex2html_wrap_inline47308 jsou nulové. Pak by množina takových matic (s nulovou normou) tvořila ideál. 



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997