next up previous contents index
Next: Superalgebry a supersymetrie Up: Lieova algebra Previous: Systémy kořenů

Váhy a mřížky

Váhy. Kořeny byly speciálními případy vah.  Obecně vahou máme na mysli lineární formu na Cartanově podalgebře, nabývající celých hodnot na celočíselné mřížce. Zajímavější jsou ale váhy dané representace tex2html_wrap_inline48468 dané algebry. Prvky Cartanovy podalgebry navzájem komutují, a tudíž můžeme hledat jejich společné vlastní vektory ve tex2html_wrap_inline48468 a čísla. Váha dané (mluvíme o komplexní) representace je tedy taková forma, která přiřadí prvku Cartanovy podalgebry jeho vlastní číslo příslušející nějakému vlastnímu vektoru celé podalgebry. Jestliže tedy počítáme každou váhu tolikrát, kolikarozměrný prostor jejích vlastních vektorů jí přísluší, bude vah právě tolik, jaká je dimense tex2html_wrap_inline48468 .

Kořeny lze tedy chápat jako váhy přidružené representace; těchto vah je tedy tolik, kolik je dimense dané algebry, ovšem jen proto, že počítáme i l (rank) nulových vah (vlastními vektory jsou prvky Cartanovy podalgebry), které obvykle za kořeny nepovažujeme.

Tak například grupa tex2html_wrap_inline52704 (l je rank) má v základní 2l-rozměrné vektorové representaci 2l vah tex2html_wrap_inline53076 , tex2html_wrap_inline53078 .

Samoduální mřížky. Když už jsme došli tak daleko,  můžeme si něco říci o vlastnostech mřížek (soustava diskrétních bodů v prostoru tex2html_wrap_inline47328 , zpravidla celočíselné kombinace základních mřížkových vektorů), a to z fysikálního pohledu v současnosti nejnadějnějšího kandidáta na teorii všeho, heterotické struny.

Kvantová teorie bosonové struny funguje pouze v dimensi časoprostoru 26,  kvantová teorie superstruny jen v dimensi 10. Navíc vlevojdoucí a vpravojdoucí módy uzavřené struny spolu navzájem komutují a generátory grupy Poincaré jsou součty vlevojdoucí a vpravojdoucí části. Lze pak tedy vzít levý sektor z bosonové struny a pravý ze superstruny. Přebytečných 16 vlevojdoucích bosonových dimensí lze svinout na torus; aby z bosonových rozměrů zbyla jen vlevojdoucí část, je třeba, aby celková hybnost struny byla rovna celkovému obtáčenígif (ztotožníme-li body, které se liší o celočíselné kombinace mřížkových vektorů, je možné, aby při objíždění uzavřené struny jsme popojeli o nějakou takovou kombinaci - to nazýváme obtáčením). Aby vůbec existovaly nějaké stavy s nenulovou celkovou hybností ve směru svinutých souřadnic (což je nutné k dobrému chování interakcí), je třeba, aby duální mřížka (všech forem, nabývajících celých hodnot na původní mřížce) měla s původní společné body (při ztotožnění původního prostoru s duálem). Dokonce je dobré předpokládat, aby splývaly, to jest aby byla mřížka samoduální. Navíc se budeme zabývat jen sudými samoduálními mřížkami, kde čtverec délky každého jejího vektoru je sudý.

Je matematickou pravdou, že sudé samoduální mřížky existují jen v prostorech o dimensi, která je násobkem osmi. Tak třeba v osmi rozměrech máme samoduální mřížku tex2html_wrap_inline53088 všech celočíselných kombinací kořenů vyňaté grupy tex2html_wrap_inline51140 . Těmi jsou ( tex2html_wrap_inline53092 )

equation30638

kde v druhém tvaru kořenů bereme jen ty se sudým počtem plusů. (Lehce napočítáte, že je jich celkem 112+128=240 právě 248-8, čili dimense minus rank.) Formy tex2html_wrap_inline49152 nabývající celých hodnot na všech těchto kořenech jsou pak kombinacemi těchto kořenů (ortonormální basi tex2html_wrap_inline47470 ztotožňujeme s basí k ní duální):

Lehce totiž ukážete, že souřadnice tex2html_wrap_inline49152 jsou buď všechny celé nebo všechny polocelé. Celočíselnost formy tex2html_wrap_inline49152 na tex2html_wrap_inline53102 pak říká, že suma souřadnic tex2html_wrap_inline49152 musí být sudá, a tak je tex2html_wrap_inline49152 celočíselnou lineární kombinací tex2html_wrap_inline53108 (v případě, že souřadnice tex2html_wrap_inline49152 jsou celé), a nebo toto platí pro tex2html_wrap_inline53112 , čímž jsme ukázali, že i tex2html_wrap_inline49152 leží v  tex2html_wrap_inline53088 , neboli samodualitu tex2html_wrap_inline53088 .

Samozřejmě, lze vybrat osm základních mřížkových vektorů, celočíselnými kombinacemi kterých jsou všechny ostatní, např.

equation30676

V šestnácti rozměrech najdeme kartézský součin tex2html_wrap_inline53120 dvou kopií tex2html_wrap_inline53088 a mřížku tex2html_wrap_inline53124 , která obsahuje jako podmřížku kořenovou mřížku tex2html_wrap_inline53126 . Jde o všechny celočíselné kombinace vektorů ( tex2html_wrap_inline53128 )

equation30738

kde v druhé sadě je sudý počet plusů. Důkaz samoduality probíhá stejně jako u  tex2html_wrap_inline53088 a i zde je možné vybrat 16 základních mřížkových vektorů.

To jsou důvody, proč promýšlíme teorii heterotické struny jen s kalibrační grupou tex2html_wrap_inline53134 (odpovídající mřížce tex2html_wrap_inline53124 ) nebo (zajímavější) grupou tex2html_wrap_inline47708 (s mřížkou tex2html_wrap_inline53120 ).


next up previous contents index
Next: Superalgebry a supersymetrie Up: Lieova algebra Previous: Systémy kořenů

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997