next up previous contents index
Next: Obří vyňatá grupa Up: Lieova algebra Previous: Váhy a mřížky

Superalgebry a supersymetrie

   Nejprve si řekněme ještě něco o obyčejných algebrách, například o algebře Poincaré.   Jde o Lieovu algebru, generující isometrie časoprostoru včetně posunutí. Za její basi lze tedy vybrat tex2html_wrap_inline53142 , tedy generátory Lorentzovy grupy (resp. otočení) a tex2html_wrap_inline53144 , generátory posunů (značení se kryje s označením momentu hybnosti a hybnosti, a snad již mnozí z vás poznali, že to není náhoda).

Komutační relace budou

equation30757

tex2html_wrap_inline53146 je zde metrický tensor. Jacobiho identitu můžete zkontrolovat přímým výpočtem.

Kromě obyčejných algeber se dnes hodně mluví i o graduovaných algebrách   neboli superalgebrách. Ta lze psát jako lineární obal prvků, kterými již nebudou pouze operátory, které jsou zvyklé s většinou ostatních komutovat, nýbrž také grassmannské operátory, které spolu typicky navzájem antikomutují ab=-ba (ovšem s negrassmannskými typicky komutují) a u nichž je tedy lepší mluviti  antikomutátoru  tex2html_wrap_inline52598 . Jednotným jazykem, superkomutátor neboli graduovaný komutátor    dvou operátorů tex2html_wrap_inline53152 je antikomutátorem, pokud jsou oba grassmannské, jinak je komutátorem.

Chceme-li transformovat objekty prvkem grupy tex2html_wrap_inline52996 blízkým jednotkovému, napíšeme tento jako tex2html_wrap_inline53156 , kde tex2html_wrap_inline53158 jsou infinitesimální (nekonečně malé) parametry a tex2html_wrap_inline53160 base generátoru. Pokud jsou tex2html_wrap_inline53162 grassmannské, musí být grassmannské i tex2html_wrap_inline53158 ; představme si pod nimi grassmannské ``číselné'' parametry, např. grassmannské operátory, které komutují se všemi negrassmannskými a antikomutují se všemi grassmannskými.

Jestliže fysika pracovala do šedesátých nebo sedmdesátých let jen s algebrami, působením jejichž transformací mohly přecházet elektrony do neutrin, červené kvarky do modrých anebo se systémy mohly otáčet nebo posouvat, v posledních dvaceti letech promýšlejí teoretici i tzv. supersymetrie, pomocí nichž lze transformovat bosony na fermiony a naopak. Uvádíme jako příklad supersymetrii na světelném kuželi v desetirozměrném časoprostoru, která proti algebře Poincaré obsahuje navíc i grassmannské operátory tex2html_wrap_inline53166 a tex2html_wrap_inline53168 . Pohleďme tedy zběžně na některé superkomutátory algebry super-Poincaré:

equation30800

(Indexy a resp. tex2html_wrap_inline53172 jsou osmiznačné spinorové indexygif grupy tex2html_wrap_inline53178 , tex2html_wrap_inline49248 jsou Diracovy matice, indexy tex2html_wrap_inline51496 odpovídají kalibraci na světelném kuželi tex2html_wrap_inline53188 atd.) Všimněte si, že antikomutátor dvou supersymetrií je úměrný posunu. To všechno má názorné vysvětlení, rozšíříme-li pojem prostoru na superprostor , který kromě komutujících souřadnic navíc obsahuje i antikomutující, protože v něm je supersymetrie geometrickou operací.

Supersymetrie zajišťuje teoriím zajímavé vlastnosti: její začlenění do teorie strun odstraní z této teorie tachyony (částice pohybující se nadsvětelnou rychlostí), jelikož např. tex2html_wrap_inline53190 tj. tex2html_wrap_inline53192 , operátor tex2html_wrap_inline53194 je hermitovský a střední hodnota tex2html_wrap_inline53196 ve stavu tex2html_wrap_inline49164 je tedy nezáporná, poněvadž jde o čtverec normy tex2html_wrap_inline53200 vektoru tex2html_wrap_inline53202 . Navíc implikuje stejný počet fermionových a bosonových stavů na každé hladině; každý fermion má svého bosonového partnera a naopak (užívají se pro ně názvy jako fotino, gluino, gravitino, selektron, skvark). Supersymetrie zaručuje v mnoha případech vymizení kosmologické konstanty (hustoty vakua) a záhadou naopak zůstává, proč je kosmologická konstanta nulová (nebo podle pozorování přinejmenším o 120 řádů menší než očekávané náhodné příspěvky od různých polí) i v našem světě, který supersymetrický není nebo kde je supersymetrie narušena. A za zmínku stojí i fakt, že supersymetrie klade omezující podmínky na dimensi časoprostoru.

Již jen poznamenejme, že podobně, jako obecná teorie relativity požaduje, aby se parametry Lorentzovy transformace mohly měnit od bodu k bodu, lze tuto lokálnost požadovat od supersymetrie a získáme tak různé teorie supergravitace. 


next up previous contents index
Next: Obří vyňatá grupa Up: Lieova algebra Previous: Váhy a mřížky

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997