next up previous contents index
Next: NilpotenceJordanův tvar Up: Lieova algebra Previous: Superalgebry a supersymetrie

Obří vyňatá grupa

Cílem této sekce, v níž sledujeme přílohu 6.A skvělé knihy Michaela B.Greena, Johna H.Schwarze a Edwarda Wittena Superstring theory, je ukázat explicitní konstrukci obří grupy (resp. odpovídající algebry) tex2html_wrap_inline51140 . Proč jí říkáme obří? Protože má ze všech prostých vyňatých grup největší dimensi (248) a navíc (chápeme-li míru symetrie jako poměr dimense a kvadrátu ranku, aby se klasické grupy tex2html_wrap_inline51194 asymptoticky touto veličinou blížily konstantě), dosahuje rekordní hodnoty 31/8.

Konstrukci začneme podalgebrou tex2html_wrap_inline53210 , kterou generuje tex2html_wrap_inline53212 operátorů tex2html_wrap_inline53214 , splňujících obvyklé komutační relace

equation30847

a přidáme k nim 128 generátorů tex2html_wrap_inline53216 (celková dimense tedy bude 120+128=248), které se transformují jako spinory tex2html_wrap_inline53210 dané (řekněme kladné) chirality, čímž míníme, žegif

equation30862

K dokončení specifikace algebry musíme dodefinovat zbývající komutátor tex2html_wrap_inline53234 (je to komutátor a ne antikomutátor, protože usilujeme o definici algebry a nikoli superalgebry). Teorie grupy však tex2html_wrap_inline53210 tento komutátor až na normalisaci určuje jednoznačně;

equation30868

kladný faktor tex2html_wrap_inline50494 , kterým by nám teorie tex2html_wrap_inline53210 dovolila násobit pravou stranu, lze absorbovat do tex2html_wrap_inline53242 -násobného přeškálování tex2html_wrap_inline53216 , jejichž normalisaci totiž žádná z předchozích formulí neomezovala. I záporné tex2html_wrap_inline50494 by vedlo k isomorfní algebře; jeho efekt by byl podobný užití spinoru druhé (zrcadlové) chirality. Jestliže tedy Lieova algebra tex2html_wrap_inline51140 s rozkladem přidružené representace

equation30875

vůči její maximálnígif podgrupě tex2html_wrap_inline53250 existuje, na jejích komutačních relacích daných prvými třemi vysazenými rovnicemi není co štelovat.

K utvrzení se, že formule opravdu definují Lieovu algebru, je třeba ověřit Jacobiho identitu. (Už její splnění nám garantuje existenci matic, které splňují tytéž relace jako abstraktní operátory tex2html_wrap_inline53252 a tex2html_wrap_inline53216 , tj. existenci representace.) Z cvičných důvodů doporučujeme explicitní kontrolu JJJ identity, která pouze vyjadřuje, že tex2html_wrap_inline53252 formují Lieovu algebru, JJQ identity, která zase potvrzuje, že se tex2html_wrap_inline53216 opravdu transformují jako representace tex2html_wrap_inline53210 . Ani JQQ identita neklade zvláštní požadavky a její platnost je podložena zvláště tím, že tex2html_wrap_inline53268 matice splňují touž algebru jako tex2html_wrap_inline53252 . Opravdu zásadní případ volající po kontrole je identita tex2html_wrap_inline53272 . Rozepsání vede k požadavku

equation30885

kterou máme dokázat pro případ, že tex2html_wrap_inline52680 jsou indexy jedné chirality.

Všimneme si, že produkt dvou spinorů může být rozepsán na kombinaci úplného systému gamma-matic tex2html_wrap_inline53276 pro tex2html_wrap_inline53278 , čili nulovost poslední formule je ekvivalentní nulovosti jejího zúžení s  tex2html_wrap_inline53280 pro všechna n a tex2html_wrap_inline53284 . Díky shodné chiralitě indexů tex2html_wrap_inline52926 se staráme jen o sudá n a antisymetrie dokazované formule v  tex2html_wrap_inline52926 nám dává možnost omezit se na případ antisymetrickýchgif tex2html_wrap_inline53294 , což díky elementárním vlastnostem gamma-matic znamená n=2,6,10,14. Ve skutečnosti nám vztah tex2html_wrap_inline53300 a fakt, že operátor chirality tex2html_wrap_inline52616 lze vynechat, účinkuje-li na spinory kladné chirality, zmenší práci na polovinu. Že nám stačí prohlédnout jen n=2 a n=6 lze spatřit už na shodnosti počtu nezávislých členů v antisymetrické kombinaci tex2html_wrap_inline53216 a tex2html_wrap_inline53310 (nalevo)

equation30903

a součtu počtů nezávislých komponent tex2html_wrap_inline53276 pro n=2 a n=6.

Zúžení segif tex2html_wrap_inline53322

equation30911

což se užitím Diracových identit anuluje; prvý resp. druhý člen se rovnají tex2html_wrap_inline53324 . Faktor 64 u druhého členu vzejde z inventury kladných a záporných příspěvků (znaménko podle parity počtu prvků průniku množin indexů tex2html_wrap_inline50456 a tex2html_wrap_inline50458 ) tex2html_wrap_inline53330 . Kontrakcí s  tex2html_wrap_inline53332 dostaneme (první člen teď již nepřispěje)

equation30921

což opět vymizí: klíčovou je zde rovnost tex2html_wrap_inline53334 při bilanci příspěvků tex2html_wrap_inline53336 .

Přidání spinoru k přidružené representaci grupy tex2html_wrap_inline53338 vede k nové Lieově algebře jen ve třech případech: kromě N=16, což přináší tex2html_wrap_inline51140 , se dá v úplné analogii sestrojit 52-rozměrná vyňatá grupa tex2html_wrap_inline48292 přidáním 16-rozměrného spinoru k 36-rozměrné přidružené representaci tex2html_wrap_inline53346 . Podobnost je opravdu velkolepá; v 16-rozměrné spinorové representaci tex2html_wrap_inline53346 lze vzít za úplný soubor matic matice tex2html_wrap_inline53276 pro n=0,2,4,6,8 a antisymetrie nám dovolí omezit se opět na n=2 a n=6. Vzorce zůstanou, jen čísla se obmění; tex2html_wrap_inline53360 místo tex2html_wrap_inline53362 , osmičku v druhém členu dostaneme jako tex2html_wrap_inline53364 a místo 45+15-60 bude požrání u n=6 vypadat tex2html_wrap_inline53370 .

Třetí možností je přidání osmirozměrného spinoru k přidružené representaci tex2html_wrap_inline53178 , čímž získáme grupu tex2html_wrap_inline53346 způsobem, který se liší tex2html_wrap_inline53178 rotací triality od standardnější a jednodušší konstrukce - totiž přidání 8-vektoru tex2html_wrap_inline53378 k přidružené representaci tex2html_wrap_inline53178 .

Nyní bychom rádi popsali některé podgrupy tex2html_wrap_inline51140 . Jednu maximální podgrupu - tex2html_wrap_inline53210 - jsme již uvedli. Ta obsahuje maximální podgrupu tex2html_wrap_inline53386 , vůči níž se její přidružená representace rozpadá na přidružené representace složek a na produkt vektorů

equation30940

Jak se vůči této podgrupě transformuje spinor tex2html_wrap_inline53210 ? Šestnáct tex2html_wrap_inline49248 -matic tex2html_wrap_inline53392 , pomocí nichž definujeme tvar operátorů ve spinorové representaci, se rozpadne na prvních deset tex2html_wrap_inline53394 , které můžeme považovat za matice tex2html_wrap_inline53180 , a posledních šest tex2html_wrap_inline53398 , které zaměstnáme jako matice tex2html_wrap_inline53400 . Spinor tex2html_wrap_inline53210 je tedy alespoň v prvním přiblížení součinem spinorů tex2html_wrap_inline53180 a tex2html_wrap_inline53400 . A co s chiralitou? Operátor chirality tex2html_wrap_inline53210 tex2html_wrap_inline53410 je zjevně součinem operátoru chirality tex2html_wrap_inline53180 tex2html_wrap_inline53414 a podobného u  tex2html_wrap_inline53400 tex2html_wrap_inline53418 .

equation30962

Tedy spinor tex2html_wrap_inline53216 positivní chirality grupy tex2html_wrap_inline53210 , který při konstrukci tex2html_wrap_inline51140 přidáváme k  tex2html_wrap_inline53252 , se rozpadá na dva kusy s vlastními čísly tex2html_wrap_inline53428 resp. tex2html_wrap_inline53430 . Označíme-li spinory positivní či negativní chirality grupy tex2html_wrap_inline53180 resp. tex2html_wrap_inline53400 jako tex2html_wrap_inline53436 či tex2html_wrap_inline53438 resp. tex2html_wrap_inline53440 či tex2html_wrap_inline53442 (dimense spinorových representací jsme již diskutovali), máme rozklad tex2html_wrap_inline53444 grupy tex2html_wrap_inline53210

equation30982

který ve spojení s rozkladem přidružené representace výše udává způsob transformace fundamentální representace tex2html_wrap_inline51140 (u této grupy je to tatáž co přidružená) vůči této podgrupě.

Nyní máme tu milou povinnost představit vám grupu tex2html_wrap_inline51126 jako podgrupu tex2html_wrap_inline51140 . Jako předehru si uvědomme, že ve tex2html_wrap_inline53440 grupy tex2html_wrap_inline53400 jsou generátory hermitovskými tex2html_wrap_inline52042 maticemi, jejichž bezstopost zabezpečuje prostota grupy tex2html_wrap_inline53400 ; jsou tedy tex2html_wrap_inline53462 generátory - neboli tex2html_wrap_inline53400 je podalgebrou tex2html_wrap_inline53462 . Postřehnutím shodné dimense 15 u obou docílíme přesvědčení, že nemůže jíti o vlastní podalgebru: musí jít o isomorfní algebry.gif Tato cesta nás současně poučila, že fundamentální tex2html_wrap_inline53476 a tex2html_wrap_inline53442 grupy tex2html_wrap_inline53462 se chovají v  tex2html_wrap_inline53400 jako spinory kladné resp. záporné chirality. Naopak, fundamentální (vektorová) representace tex2html_wrap_inline53484 grupy tex2html_wrap_inline53400 je antisymetrickým tensorem druhého ranku grupy tex2html_wrap_inline53462 , který má dimensi tex2html_wrap_inline53490 , jak má být. (Je jedno, zda bereme tex2html_wrap_inline53492 nebo tex2html_wrap_inline53494 ; tyto representace jsou ekvivaletní, jelikož je lze přepočítávat pomocí antisymetrického tensoru Levi-Civitty tex2html_wrap_inline53496 .)

A tak mluvme místo o podalgebře tex2html_wrap_inline53386tex2html_wrap_inline53500 . Dále, tex2html_wrap_inline53462 má očividnou podgrupu tex2html_wrap_inline53504 . Značíme-li horními indexy tex2html_wrap_inline53506 náboje, rozkládá se nám tex2html_wrap_inline53440 grupy tex2html_wrap_inline53462 na tex2html_wrap_inline53512 , tex2html_wrap_inline53484 grupy tex2html_wrap_inline53462 - právě ztotožněný s antisymetrickým součinem dvou tex2html_wrap_inline53440 , se transformuje jako tex2html_wrap_inline53520 a přidružená representace tex2html_wrap_inline53462 , což je vlastně tex2html_wrap_inline53524 (-1 značí odstraněný singlet - stopu) se pod tex2html_wrap_inline53504 transformuje jako tex2html_wrap_inline53530 , kde tex2html_wrap_inline53532 znamená přidruženou tex2html_wrap_inline53534 . Kombinací všech faktů docházíme k vysněnému rozkladu přidružené representace tex2html_wrap_inline51140 vůči podgrupě tex2html_wrap_inline53538 :

equation31051

Zvláštní pozornosti zaslouží 78 generátorů, které jsou tex2html_wrap_inline53534 singlety. Neb komutátor dvou tex2html_wrap_inline53534 singletů musí být opět tex2html_wrap_inline53534 singlet, lze usoudit, že těchto 78 generátorů tvoří uzavřenou podalgebru (těch generátorů, které s onou tex2html_wrap_inline53534 komutují, někdy zvanou centralisátor grupy tex2html_wrap_inline53534 );  je známa jako vyňatá Lieova algebra tex2html_wrap_inline51126 . Evidentní je maximální subalgebra tex2html_wrap_inline53552 , vůči níž se přidružená representace tex2html_wrap_inline51126 rozkládá podle předpisu

equation31101

A co víc, rozklad tex2html_wrap_inline53556 obsahuje 27 kopií tex2html_wrap_inline53558 grupy tex2html_wrap_inline53534 . Tyto se musí zobrazovat na sebe při tex2html_wrap_inline51126 transformacích , a tak musí mít tex2html_wrap_inline51126 nějakou 27-rozměrnou representaci s  tex2html_wrap_inline53552 rozkladem

equation31122

Jistotu zvýšíme ověřením, že tex2html_wrap_inline53568 stopa tex2html_wrap_inline53506 generátoru v representaci tex2html_wrap_inline53572 grupy tex2html_wrap_inline51126 je nula. To je v souhlase s faktem, že stopa každého generátoru nějaké prosté Lieovy algebry vymizí v každé representaci (onen tex2html_wrap_inline53506 generátor je jedním ze 78 generátorů tex2html_wrap_inline51126 ). Tím také dokazujeme ireducibilitu, jelikož tato stopa by se neanulovala po vyškrtnutí některých členů rozkladu tex2html_wrap_inline53572 . Komplexně sdruženou representací jsou tex2html_wrap_inline53582

equation31139

Poslední vysazené formule nejsou zjevně vzájemně isomorfní, takže tex2html_wrap_inline53572 a tex2html_wrap_inline53586 jsou komplexní representace, neekvivalentní k nim komplexně sdruženým. tex2html_wrap_inline51126 je opravdu jedinou vyňatou Lieovou algebrou, která vůbec komplexní representace má. Posbíráním členů lze dojít k rozkladu tex2html_wrap_inline53556 grupy tex2html_wrap_inline51140 vůči maximální podgrupě tex2html_wrap_inline53594 .

equation31162

Užijeme-li maximální podgrupu tex2html_wrap_inline53596 grupy tex2html_wrap_inline53534 a označíme-li horními indexy tex2html_wrap_inline53506 náboj, máme

equation31181

Posbíráním tex2html_wrap_inline51212 singletů dostaneme 133-rozměrnou přidruženou representaci další vyňaté grupy tex2html_wrap_inline51136 , která se rozkládá pod maximální podgrupou tex2html_wrap_inline53606 na

equation31221

Shromážděním dubletů (u grupy tex2html_wrap_inline51212 je representace tex2html_wrap_inline53610 pseudoreálná a tedy isomorfní tex2html_wrap_inline53612 !) získáme fundamentální 56-rozměrnou representaci tex2html_wrap_inline51136tex2html_wrap_inline53606 rozkladem

equation31241

a můžeme tedy zapsat rozklad tex2html_wrap_inline53556 grupy tex2html_wrap_inline51140 pro maximální podgrupu tex2html_wrap_inline53622

equation31258

Kromě tex2html_wrap_inline51126 , tex2html_wrap_inline51136 , tex2html_wrap_inline51140 známe ještě vyňaté grupy tex2html_wrap_inline48292 a tex2html_wrap_inline48230 . Zmíněnou tex2html_wrap_inline53346 konstrukci grupy tex2html_wrap_inline48292 lze vnořit do tex2html_wrap_inline53210 výstavby tex2html_wrap_inline51140 omezením se na tex2html_wrap_inline53252 pro tex2html_wrap_inline53644 a výběrem 16 složek spinoru ze tex2html_wrap_inline53444 , která se vůči tex2html_wrap_inline53648 podgrupě tex2html_wrap_inline53210 rozkládá na tex2html_wrap_inline53652 , stejně jako tex2html_wrap_inline53654 .

Zajímavý je centralisátor  grupy tex2html_wrap_inline48292tex2html_wrap_inline51140 . Musí jím být kombinace tex2html_wrap_inline53252 (spinory tex2html_wrap_inline53216 sotva donutíme komutovat s ostatními), a to podgrupa tex2html_wrap_inline48232 (aby komutovala s  tex2html_wrap_inline53346 podgrupou tex2html_wrap_inline48292 ). Navíc musí zachovávat náš výběr tex2html_wrap_inline53670tex2html_wrap_inline53652 , tj. půjde o podgrupu tex2html_wrap_inline48232 fixující jeden element osmirozměrné spinorové representace. Této grupě se říká tex2html_wrap_inline48230 a je to současně grupa symetrií Cayleyovy malé násobilky, jak jsme již uvedli v kapitolce o oktonionech. Tedy tex2html_wrap_inline51140 obsahuje podgrupu tex2html_wrap_inline53680 . Mimo jiné, trojindexový antisymetrický invariant lze teď získat z invariantního spinoru tex2html_wrap_inline53682 jako

equation31296

kde tex2html_wrap_inline53684 jsou gamma-matice tex2html_wrap_inline48232 upravené tak, aby působily uvnitř representace, splňující tex2html_wrap_inline53688 .

A očekávali byste jiný rozpad tex2html_wrap_inline53556 grupy tex2html_wrap_inline51140 vůči podgrupě tex2html_wrap_inline53680 než direktní sumu přidružených representací a produktu fundamentálních?

equation31311

Pokud jste této sekci vůbec nerozuměli, nesmutněte a raději si zkontrolujte poslední rovnost, značí-li tex2html_wrap_inline53696 sčítání a závorky násobení. ( tex2html_wrap_inline47306 )


next up previous contents index
Next: NilpotenceJordanův tvar Up: Lieova algebra Previous: Superalgebry a supersymetrie

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997