next up previous contents index
Next: Base z řetězců vektorů Up: Letní semestr Previous: Obří vyňatá grupa

Nilpotence, Jordanův tvar

Následující kapitola pojednává opět o ``čistě lineárně algebraickém'' tématu - o nalezení Jordanova tvaru matice. Jde o jisté vyvrcholení té části lineární algebry, kde se neuvažuje skalární součin. K porozumění je třeba dobrého osvojení základů lineární algebry - pojmů dimense, hodnost, vlastní číslo a vlastní vektor (a ničeho jiného).

Motto kapitoly. K dané matici tex2html_wrap_inline47308 najděte ``co nejjednodušší'' podobnou matici tex2html_wrap_inline51978 , tzn. vyjádřete tex2html_wrap_inline51714 , kde tex2html_wrap_inline51978 má nějaký standardní tvar, s nímž se dobře pracuje.

Viděli jsme, že ``nejjednodušší'' často znamená ``diagonální'', a to u zobrazení, které má basi složenou z vlastních vektorů. To je však z hlediska této kapitoly spíše triviální případ. Ti, kteří nepřikládají studiu Jordanova tvaru velkou pozornost, by si měli nalézt vhodné argumenty: jedním z nejsilnějších je, že nediagonalisovatelná matice nebo operátor je ``křehká'' vůči typické perturbaci - změníme-li byť jen o malinko maticové elementy, matice se stane diagonalisovatelnou. Je ``nekonečně málo pravděpodobné'', že ``náhodně vybraný'' operátor nebude diagonalisovatelný (dimense množiny takových je menší než dimense prostoru matic všech). Mnohé přirozené příklady nediagonalisovatelných operátorů nám nicméně nabízí analýza.

Příklady.  Operátor derivování na prostoru polynomů nejvýše n-tého stupně

equation32311

equation32314

equation32323

equation32332

equation32339

equation32361

kde matice tex2html_wrap_inline52824 je matice tex2html_wrap_inline53712 typu z minulého příkladu.

Všimněte si, že tex2html_wrap_inline53714 , tex2html_wrap_inline53716 .

Úkoly. Najděte co nejjednodušší vyjádření maticemi uvedeného typu pro operátory

  1. k-té derivace pro obecné přirozené k
  2. pro libovolný diferenciální operátor s konstantními koeficienty, např. pro

    equation32380

  3. pro diferenciální operátor s polynomiálními koeficienty, např. (můžete se omezit jen na případ polynomů nižšího stupně, než je stupeň derivace, před nímž stojí)

    equation32386

Definice. Matice tex2html_wrap_inline49632 , tex2html_wrap_inline53724 byly typickými příklady   nilpotentních operátorů. To je takový operátor tex2html_wrap_inline49492 , že tex2html_wrap_inline53728 takové, že

equation32398

Číslu n (nejmenšímu možnému) říkáme  stupeň operátoru. Podobně stupeň vektoru tex2html_wrap_inline49152 je nejmenší číslo k takové, aby tex2html_wrap_inline53736 .

Věta. tex2html_wrap_inline49492 je nilpotentní tex2html_wrap_inline50898 jeho jediným vlastním číslem je nula.

Důkaz. Implikace doprava je triviální částí důkazu:

equation32409

Pro netriviální část důkazu sestrojíme řetězec do sebe vnořených podprostorů

equation32423

equation32431

equation32441

Z minulého semestru dobře víme, že tex2html_wrap_inline53758 .

Lemma. Nemá-li f nenulová vlastní čísla a je-li tex2html_wrap_inline53762 , tak tex2html_wrap_inline53764 . Z toho pak plyne implikace věty doleva, protože tex2html_wrap_inline53766 .

Důkaz lemmatu. Je tedy tex2html_wrap_inline53768 . To ale znamená, že zobrazení

equation32454

je vzájemně jednoznačné a tedy regulární na tex2html_wrap_inline53770 . Musí být tex2html_wrap_inline53772 , jinak by existovalo nenulové vlastní číslo zobrazení f, což by byl spor.

Ke zkoumání struktury řetězců

equation32458

budeme potřebovat jeden nový pojem.

Definice. O nenulových vektorech tex2html_wrap_inline48492 řekneme, že jsou  nezávislé vůči podprostoru tex2html_wrap_inline48672 , pokud

equation32474

(``Nezávislost bez spojky'' lze teď chápat jako nezávislost vůči triviálnímu podprostoru, obsahujícímu jen nulový vektor.)

Řekneme, že tex2html_wrap_inline48492 dokonce tvoří   basi tex2html_wrap_inline48468 vůči tex2html_wrap_inline48668 , pokud navíc

equation32486

(``Basi bez spojky'' teď chápeme opět jako basi vůči podprostoru obsahujícímu jen nulový vektor.)




next up previous contents index
Next: Base z řetězců vektorů Up: Letní semestr Previous: Obří vyňatá grupa

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997