next up previous contents index
Next: Jordanův tvar obecné matice Up: NilpotenceJordanův tvar Previous: NilpotenceJordanův tvar

Base z řetězců vektorů

 

Základní výsledek teorie nilpotentních operátorů shrnuje následující

tex2html_wrap_inline47710 věta. Nechť tex2html_wrap_inline49492 je nilpotentní operátor stupně k. Pak existují vektory tex2html_wrap_inline53812 stupně k, dále vektory tex2html_wrap_inline53816 stupně k-1, ...až vektory tex2html_wrap_inline53820 stupně 1 takové, že nenulové vektory z následující tabulky tvoří basi prostoru tex2html_wrap_inline48468 .

equation32511

Lemma o ponořování. K důkazu základní věty o nilpotentních operátorech budeme potřebovat vědět, že v libovolné tabulce vektorů, sestavené z řetězců vektorů, v nichž šipka od tex2html_wrap_inline49152tex2html_wrap_inline52424 znamená tex2html_wrap_inline53830 , jsou všechny vektory nezávislé právě tehdy, pokud jsou nezávislé vektory v nejspodnějším řádku (jejichž obrazem je nulový vektor).

equation32573

Důkaz lemmatu. Nezávislost spodních vektorů plyne z nezávislosti všech vektorů triviálně. Naopak, je-li nějaká (netriviální) kombinace tex2html_wrap_inline53832 (všech) vektorů nulová, je (díky této rovnosti)

equation32606

nulová i nějaká kombinace vektorů zmenšené tabulky, v nichž vynecháme ``nejvrchnější'' vektor z každého řetězce. Násobným opakováním tohoto myšlenkového kroku (násobným zmenšováním skupiny vektorů, z nichž lze vytvořit nulová netriviální kombinace) dojdeme k závěru, že pak musí být závislé i nejspodnější vektory.

Návod k důkazu věty. Onu basi lze tedy zkonstruovat tak, že dbáme na nezávislost spodních vektorů, ovšem nesmíme také zapomenout žádný dlouhý řetězec před tím, než začneme stavět kratší:

Lemma. Ve větě nahoře zvolme tex2html_wrap_inline48492 jako basi tex2html_wrap_inline48468 vůči tex2html_wrap_inline53838 , kde tex2html_wrap_inline53840 . Pak pro každý vektor tex2html_wrap_inline49384 stupně k existují koeficienty tex2html_wrap_inline53846 takové, že

equation32626

Důkaz je okamžitý (víte-li, o čem jde řeč).

Zvolili jsme nějakou basi tex2html_wrap_inline48492 prostoru tex2html_wrap_inline48468 vůči tex2html_wrap_inline53838 . Vektory tex2html_wrap_inline53854 doplníme dalšími vektory tex2html_wrap_inline53856 na basi prostoru tex2html_wrap_inline53838 vůči tex2html_wrap_inline53860 . Vektory tex2html_wrap_inline53862 doplníme ...atd. až do případného doplnění base tex2html_wrap_inline53864 .

Můžete, zajisté, postupovat i zdola. Najdete nějakou basi tex2html_wrap_inline53864 . Ke každému jejímu prvku tex2html_wrap_inline48566 se pokusíte najít nějaký vektor tex2html_wrap_inline53870 , aby tex2html_wrap_inline53872 . Tím získáte basi tex2html_wrap_inline53874 (vektory tex2html_wrap_inline48566 a ty vektory tex2html_wrap_inline53870 , které lze najít, dohromady). ...Prodlužujete řetězce, až najdete basi celého tex2html_wrap_inline53880 .

Důsledek. V jazyku matic hlavní nilpotentní větu vyjádříme takto:

Každou čtvercovou nilpotentní matici tex2html_wrap_inline47308 ( tex2html_wrap_inline53884 ) lze napsat ve tvaru

equation32684

kde tex2html_wrap_inline53886 má blokový tvar (Jordanův tvar pro nilpotentní matici)  

equation32695

a bloky mají tvar typu

equation32706

Důkaz. Osvětlí se to ihned, vyjádříme-li zobrazení tex2html_wrap_inline53888 maticí vůči basi sestrojené ve větě a napsané v pořadí

equation32718

Matice tex2html_wrap_inline49548 má tedy ve sloupcích souřadnice vektorů tvořících řetězce, a to tak, že ten napravo buňky se zobrazí do druhého, ten do třetího ...až levý vektor (dané buňky) se zobrazí do nulového vektoru (levý vektor je vlastní vektor příslušející vlastnímu číslu nula).

Důvod, proč je tex2html_wrap_inline49548 nalevo a tex2html_wrap_inline53894 napravo, si lehce vyjasníte tak, že je-li tex2html_wrap_inline47320 sloupec souřadnic vektoru v basi řetězců, je tex2html_wrap_inline53898 sloupcem souřadnic v původní basi a tex2html_wrap_inline53900 je sloupec souřadnic v původní basi vektoru přiřazenému vektoru tex2html_wrap_inline53898 . Z druhé strany, tex2html_wrap_inline53904 je vektor přiřazený vektoru tex2html_wrap_inline47320 (obé vyjádřeno v basi řetězců) a tex2html_wrap_inline53908 je jeho vyjádření v původní basi. Proto je tex2html_wrap_inline53910 .

Určení tabulky řetězců. Nechť má nilpotentní matice tex2html_wrap_inline47308 rozměr tex2html_wrap_inline49578 . Spočteme si hodnosti mocnin tex2html_wrap_inline47308

equation32769

a tvar tabulky (počet řetězců a jejich délky) spočteme z rovností

equation32773

equation32776

Určovat konkrétní vektory lze náhodně. Postupujeme-li shora, zvolíme náhodně (nezávislé) vektory tex2html_wrap_inline48492 , spočteme tex2html_wrap_inline53854 a tyto vektory doplníme (náhodně, ovšem pozor: musí ležet v prostoru tex2html_wrap_inline53838 !) vektory tex2html_wrap_inline49502 (často bude m=0 čili žádné doplnění). Takto postupujeme dále a nakonec obvykle zjistíme, že spodní vektory řetězců jsou lineárně nezávislé. (Je nekonečně málo pravděpodobné, že budou závislé, vybírali-li jsme opravdu náhodně. Píšeme-li ale souřadnice vektorů příliš jednoduché, může se nám stát, že budou závislé; pak je třeba některý(-é) z vektorů korigovat.) Postup je možno libovolně kombinovat s vyhledáváním řetězců ``zdola''. Samozřejmě, fakt, že volba může být náhodná a výsledek tedy nejednoznačný, ztíží zkoušejícímu možnosti kontroly, což bývá výhoda pro zkoušeného.

V praxi to jde lépe. Samozřejmě, v případě matic tex2html_wrap_inline50562 , tex2html_wrap_inline48296 a tex2html_wrap_inline52042 (které vám asi zadají jako úkol) je škála možností omezená. Jordanův tvar nilpotentní (nenulové) matice tex2html_wrap_inline50562 musí mít tvar

equation32795

matice tex2html_wrap_inline48296 má varianty dvě

equation32802

a mezi maticemi tex2html_wrap_inline52042 to není o moc těžší; kromě matic, v nichž oproti dvěma případům z  tex2html_wrap_inline48296 přidáme dolů a vpravo nulovou řádku a sloupec, přibudou jen

equation32814

Příklad. Matice tex2html_wrap_inline47308 typu tex2html_wrap_inline53944 má dimense prostorů

equation32827

rovny tex2html_wrap_inline53946 . (Hodnosti mocnin tex2html_wrap_inline47308 jsou doplňky do dvaceti, tj. 13,7,2,0.) Potom hledaná tabulka obsahuje sedm řetězců o délkách 4,4,3,3,3,2,1.

equation32837

Vektory tex2html_wrap_inline49304 určíme namátkou, tex2html_wrap_inline53956 doplníme náhodnými vektory tex2html_wrap_inline53958tex2html_wrap_inline53960 atd.

Úlohy.

  1. Najděte Jordanův tvar matice z posledního příkladu.
  2. Znáte-li strukturu nilpotentního operátoru tex2html_wrap_inline47308 , najděte strukturu jeho mocnin tex2html_wrap_inline53964 atd.
  3. Jsou-li nilpotentní tex2html_wrap_inline47308 , tex2html_wrap_inline49538 , musí být nilpotentní tex2html_wrap_inline49948 nebo tex2html_wrap_inline53972 ?


next up previous contents index
Next: Jordanův tvar obecné matice Up: NilpotenceJordanův tvar Previous: NilpotenceJordanův tvar

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997