next up previous contents index
Next: Cyklický vektor Up: NilpotenceJordanův tvar Previous: Base z řetězců vektorů

Jordanův tvar obecné matice

  Vybaveni dokonalou znalostí struktury nilpotentních operátorů, obrátíme se nyní ke studiu struktury libovolného operátoru tex2html_wrap_inline49492 .

Definice. Pro element spektra tex2html_wrap_inline49990 operátoru tex2html_wrap_inline49492 označme

equation32917

Řekneme, že tex2html_wrap_inline49990 je řádu k (nepleťme s obvykle odlišnou hodnotou násobnosti tex2html_wrap_inline49990 ), pokud

equation32927

poslední člen označme tex2html_wrap_inline53992 a nazvěme ho   kořenovým podprostorem tex2html_wrap_inline49990 .

Potřebujeme nyní pojem direktního součtu   prostorů:

Definice. Řekneme, že podprostory tex2html_wrap_inline53996 tvoří    direktní rozklad tex2html_wrap_inline48468 , jestliže každý vektor tex2html_wrap_inline49384 lze jednoznačně napsat ve tvaru

equation32945

Věta poprvé. Platí

equation32960

a navíc $$Ker_ a navíc $f(_)_$, tex2html_wrap_inline54012 .

Důkaz. Nechť tex2html_wrap_inline54014 , tzn. tex2html_wrap_inline54016 , kde k je řád tex2html_wrap_inline49990 . Chceme nejprve ověřit vztah tex2html_wrap_inline54022 . Platí ale

equation32977

Nyní použijeme tex2html_wrap_inline47710 důležité LEMMA. tex2html_wrap_inline54026 ; navíc tex2html_wrap_inline54028 , tex2html_wrap_inline54030 , kde

equation33003

a tex2html_wrap_inline54034 je poslední člen posloupnosti

equation33015

Důkaz lemmatu. Pišme tex2html_wrap_inline54042 (můžeme si klidně představovat, že tex2html_wrap_inline50108 ). Je důležité si uvědomit snad nejpoužívanější vztah zimního semestru

equation33022

aby stačilo dokázat, že tex2html_wrap_inline54048 .

Nechť tex2html_wrap_inline54050 je nenulový vektor. Pak tex2html_wrap_inline54052 pro vhodné tex2html_wrap_inline54054 . Vztah tex2html_wrap_inline54014 by znamenal, že tex2html_wrap_inline54058 pro vhodné tex2html_wrap_inline54060 . To však není možné, neboť tex2html_wrap_inline54062 a tedy by již platilo tex2html_wrap_inline54064 , tzn. tex2html_wrap_inline54066 .

Zbývá ověřit invarianci vůči f; ta je ale zřejmá ze vztahu

equation33054

a tak pro tex2html_wrap_inline54050 resp. tex2html_wrap_inline53992 je tex2html_wrap_inline54074 resp. tex2html_wrap_inline53992 a následně také tex2html_wrap_inline54078 resp. tex2html_wrap_inline53992 .

Pokračování důkazu věty. Všimněme si, že tex2html_wrap_inline49990 již nepatří do spektra zúženého operátoru tex2html_wrap_inline54084 !!!

Podle operátoru tex2html_wrap_inline54084 opět rozložíme prostor tex2html_wrap_inline54088 (zvolíme další prvek spektra tex2html_wrap_inline54090 ), kde tex2html_wrap_inline54092 je kořenový podprostor tex2html_wrap_inline54090 a tex2html_wrap_inline54096 , kde k' je řád tex2html_wrap_inline54090 (snadno nahlédneme, že řády tex2html_wrap_inline54090 jsou stejné pro operátor f na tex2html_wrap_inline54106 jako na tex2html_wrap_inline54108 ).

Indukcí takto dokončíme (alespoň v situaci konečné dimense, jde to však často i jindy) důkaz věty.

Nyní aplikujeme větu o struktuře nilpotentního operátoru na každý tex2html_wrap_inline54110 . Dostáváme tento závěrečný výsledek.

Jordanova věta podruhé. Nechť tex2html_wrap_inline49492 je libovolný operátor. Pak existuje base tex2html_wrap_inline48468 , v níž má f matici tvaru

equation33086

kde jednotlivé buňky tex2html_wrap_inline54118 mají tvar

equation33098

(čísla tex2html_wrap_inline49990 jsou ze spektra f). Konkrétněji, každá matice tex2html_wrap_inline47308 lze zapsat pomocí podobné matice tex2html_wrap_inline53886 výše uvedených vlastností jako

equation32684

kde matice tex2html_wrap_inline49548 má ve sloupcích vlastní vektory tex2html_wrap_inline49152 ( tex2html_wrap_inline54132 ) resp. vektory z řetězců ( tex2html_wrap_inline54134 vektor vlevo od tex2html_wrap_inline49152 ).

Motivující a zatemňující poznámky. Jednou z nejobecnějších matematických disciplín je   teorie kategorií, jejímž cílem je porovnávání formalismů jednotlivých matematických disciplín a hledání jejich společných rysů. Aniž bychom se například jakkoli pokoušeli formalisovat podobnost např. mezi teorií konečných množin a zobrazení na nich na jedné a LA na druhé straně, zkusíme na intuitivní úrovni vyjádřit podobnou ideu, jaká se používá při konstrukci Jordanova tvaru, při znázornění struktury zobrazení na množině: znázorňování prvků množiny jako bodů a zobrazení jako šipek jsme již používali u studia permutací (kdy jsme kreslili cykly permutace). Obecné zobrazení lze znázornit obrázkem, v němž lze vybarvit černě ``návratné'' body y zobrazení, tj. takové, pro něž tex2html_wrap_inline54140 , a hrají roli tex2html_wrap_inline54034 . V konkrétním obrázku lze podmínku tex2html_wrap_inline54144 nahradit podmínkou jen ``pro n=3'' apod. Ty ostatní, odpovídající tex2html_wrap_inline53992 , ponecháme bílé.

Náš nynější rozklad je opět invariantní vůči působení zobrazení f, alespoň v tom smyslu, že bod přiřazený černému bodu je opět černý.

Podrobnější komentář k Jordanově větě. Přechod od formulace věty 1 k formulaci věty 2 (od direktního rozkladu k blokové matici) je umožněn následujícím obecným tvrzením, které sice potřebujeme pro direktní rozklad na libovolný počet sčítanců, ale pro pohodlí zformulujeme pouze takto:

Tvrzení. Buď tex2html_wrap_inline54154 (alternativní značení pro tex2html_wrap_inline54156 a tex2html_wrap_inline54158 ) a tex2html_wrap_inline54160 , tex2html_wrap_inline54162 . Nechť tex2html_wrap_inline48492 tvoří basi tex2html_wrap_inline54166 a tex2html_wrap_inline49502 tvoří basi tex2html_wrap_inline47396 . Nechť tex2html_wrap_inline47308 je matice tex2html_wrap_inline54174 a tex2html_wrap_inline49538 matice tex2html_wrap_inline54178 . Pak matice tex2html_wrap_inline49492 má vůči basi tex2html_wrap_inline54182 blokovou matici

equation33170

Důkaz si každý, kdo již ovládl pojem base a vyjadřování zobrazení maticí (a nečeká, že úplně každou formulaci za něho udělá někdo jiný) může provést sám. Ti, kteří jsou schopni i samostatného výběru indexů (...), mohou dokázat i (potřebné) zobecnění pro tex2html_wrap_inline54184 .

Nyní podrobněji okomentujeme počet a délku různých bloků v Jordanově matici ve větě 2. Bloky odpovídající danému vlastnímu číslu dávají vlastně (po odečtení tex2html_wrap_inline54188 ) Jordanův tvar nilpotentního operátoru

equation33183

Dříve, než ukončíme diskusi nalezení Jordanova tvaru obecné matice, ještě doplňující poznámky k nilpotentním operátorům.

Příklad. Mějme nilpotentní operátor F na tex2html_wrap_inline54192 zadaný v nějaké basi (vynechávejme šipky) tex2html_wrap_inline54194 vztahy (šipka od tu znamená F(t)=u)

equation33187

Je jasné, že hledanou tabulkou řetězců z věty o struktuře může být např.

equation33193

K obecným diagramům s netriviálními smyčkami se ještě za chvíli vrátíme.

Problém. Nechť F je nilpotentní operátor. Charakterisujte všechny operátory, které komutují s F. Najděte dále podmínku na F, aby fakt komutování F a G implikoval, že G je polynom od F:

equation33202

(Řešení b) se dá říci ``operátor F má jediný řetězec''.)

Diskuse délek a počtu jednotlivých Jordanových buněk pro obecnou matici: návod pro praktické počítání lze shrnout do dvou kroků, z nichž vám řekneme jenom tři.

  1. Najdeme spektrum dané matice tex2html_wrap_inline47308 (případně daného operátoru, není-li tento již přímo zadán maticí tex2html_wrap_inline47308 v nějaké ``přirozené'' basi).

    Poznámka. ``Najít spektrum'' je universální rada pro téměř všechny situace LA, kdy nás v souvislosti se zadanou čtvercovou maticí nenapadá nic vhodnějšího. Jasný kandidát pro ``radu č.1'' v ``Helpu'' (F1) jakéhokoliv představitelného software, který by měl za cíl procvičit znalosti LA. V analýze by podobná universální rada mohla znít ``nenapadá-li vás nic rozumnějšího, derivujte''.

  2. Najdeme dimense prostorů

    equation33208

    neboli hodnosti matic tex2html_wrap_inline54228 , tex2html_wrap_inline54230 , ...

  3. Najdeme kořenový podprostor tex2html_wrap_inline53992 a v něm podrobně prostudujeme již probranými metodami nilpotentní operátor

    equation33217

    Pozor. ``Nejvyšší vektory řetězců'' volíme sice zase třeba ``namátkou'', ALE SAMOZŘEJMĚ V PROSTORU tex2html_wrap_inline54234 (nikoliv snad ve tex2html_wrap_inline48468 ).

Příklad. Na tex2html_wrap_inline54238 mějme operátor F zadaný opět šipkami

equation33223

  1. Spektrum sestává z hodnot (ověřte! Nakreslete si cykly daného zobrazení a nakoukněte do úvodu kapitoly o Penroseově pokrytí)

    equation33225

  2. Jelikož je zřejmě

    equation33228

    je násobnost vlastního čísla 0 alespoň tři. Větší ovšem býti nemůže, protože máme ještě šest dalších vlastních čísel, z nichž jednotka je alespoň dvojnásobná (protože jsou dva cykly)

    equation33234

    a platí 1+1+1+1+1+2+3=10 (součet násobností).

  3. Najdeme ještě zbývající vlastní vektory

    equation33236

Závěr. Vůči basi

equation33252

má naše zobrazení F matici

equation33258

(Symbol ``diag'' vytváří blokovou diagonální matici s uvedenými prvky na diagonále, jinde jsou nuly.)

Poznámka. V tomto konkrétním případě se mnohým nebude zdát Jordanův tvar jednodušší než matice vůči basi g,f,e,a,b,c,d,k,j,i:

equation33267

Jednodušší je, ale přesto poučení, že bývá užitečné zkoumat i jiné ``kanonické'' tvary matice, je správné.


next up previous contents index
Next: Cyklický vektor Up: NilpotenceJordanův tvar Previous: Base z řetězců vektorů

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997