next up previous contents index
Next: Soustavy diferenciálních rovnic Up: NilpotenceJordanův tvar Previous: Cyklický vektor

Polynomy a funkce matic

 Z funkcí matic lze čistě lineárně algebraickými prostředky zkoumat exponenciálu, ale i polynomy. Místo rozvíjení systematičtější teorie tex2html_wrap_inline49990 -matic tak, jak to dělají četné knihy o LA, zde uvedeme jeden výrazný výsledek.

  Hamilton-Cayleyova věta. Nechť p je charakteristický polynom matice tex2html_wrap_inline47308 resp. operátoru f (zopakujte pojem determinantu operátoru!):

equation33383

equation33388

Důkaz. Vyjdeme z direktního rozkladu (viz obecnou Jordanovu větu)

equation33393

Víme, že tex2html_wrap_inline54300 , kde tex2html_wrap_inline54302 je násobnost tex2html_wrap_inline54304 .

Nechť tex2html_wrap_inline49384 . Pišme tex2html_wrap_inline54308 , kde tex2html_wrap_inline54310 . Jenomže

equation33406

equation33415

equation33425

Pro nilpotentní operátory nám věta nic překvapivého nenabízí. Objasněte. Ověřte dále, že za tex2html_wrap_inline54312 stačí dosadit délku nejdelšího řetězce příslušejícímu danému vlastnímu číslu.

Použití. Hamilton-Cayleyovu větu můžeme použít například k výpočtu mocnin matice. Chtějme třeba spočítat prvních deset mocnin matice tex2html_wrap_inline47308

equation33434

Charakteristický mnohočlen tex2html_wrap_inline47308 je tex2html_wrap_inline54318

equation33443

Do druhého vztahu lze dosadit tex2html_wrap_inline54320 z prvéhogif a stačí tedy spočítat druhou mocninu matice tex2html_wrap_inline47308 a pak jen sčítat.

Přesto nezapomeňte na standardní způsob výpočtu pomocí podobné diagonální matice:

equation33456

a tak kupříkladu

equation33468



Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997