next up previous contents index
Next: Perron-Frobeniova věta Up: Letní semestr Previous: Metoda variace konstant a

Positivní matice

Zaměříme se nyní na zkoumání (reálných) matic s nezápornými prvky tex2html_wrap_inline54476 . Takové matice vznikají v nejrůznějších aplikacích (teorie pravděpodobnosti, biologie, fysika, ekonomie); tex2html_wrap_inline50332 mají význam korelace mezi j-tým vstupem a i-tým výstupem a jejich nezápornost bývá dána kontextem úlohy.

Z hlediska čistě algebraického vypadá asi otázka ``zkoumejme matice s nezápornými prvky'' nepříliš zajímavě - množina těchto matic netvoří příliš výraznou algebraickou strukturu. Na druhé straně lze říci leccos zajímavého o struktuře samotných positivnich matic. Většina příslušných výsledků byla nejprve získána v souvislosti s aplikacemi, hlavně v teorii pravděpodobnosti. Zájemci o teorii pravděpodobnosti naleznou v této kapitole zjednodušené formulace některých základních tvrzení např. z teorie Markovských procesů, ale i nekonečně dělitelných pravděpodobnostních rozložení, Brownova pohybu,... Celá tato kapitola by po expansi mohla být jakýmsi zakukleným úvodem do teorie pravděpodobnosti...

Příklad 1, model epidemie. Zkoumejme průběh nemoci s konstantní ``intensitou nakažlivosti'' v ideální populaci, kde tex2html_wrap_inline54484 označuje procento zdravých, nemocných, imunních a mrtvých jedinců populace (jejich součet je jedna) a matice

equation33926

s jednotkovými součty ve všech sloupcích - to lze vyjádřit rovností

equation33948

označuje pravděpodobnost změny stavu daného jedince do příštího dne (např. tex2html_wrap_inline54486 je pravděpodobnost, že dnes nemocný člověk bude zítra imunní; trivialita pravého sloupce souvisí s tím, že mrtví jedinci to již mají spočtené). Je-li počáteční stav populace dán vektorem tex2html_wrap_inline49094 , za n dní bude dán vektorem tex2html_wrap_inline54492 ; při volbě konstanty 1 v pravém dolním rohu ovšem bude průběh nemoci fatální.

Příklad 2, věková struktura obyvatelstva. Nechť tex2html_wrap_inline54494 , n=0,1 až 120 označuje počet žen věku tex2html_wrap_inline54500 v populaci. Ve stabilisované tržní společnosti uvažujme veličiny tex2html_wrap_inline54502 , pravděpodobnost přežití o jeden rok a tex2html_wrap_inline54504 , pravděpodobnost narození dcerky n-leté matce.

Věková struktura ženské populace v roce N je potom dána vektorem tex2html_wrap_inline54510 .

Cvičení. Nalezněte podmínky na veličiny tex2html_wrap_inline54502 a tex2html_wrap_inline54504 , při nichž populace expanduje resp. vymírá.

Matice z obou příkladů byly positivní   (měly nezáporné prvky) a matice z prvého příkladu byla navíc stochastická  , měla jednotkovou sumu v každém sloupci.

Místo ``positivní'' bychom měli přesněji říkat ``nezáporná''. V aplikacích se však nejčastěji setkáváme se situací, kdy buď již přímo prvky zkoumané matice jsou všechny ostře větší než nula nebo toto alespoň platí pro dostatečně velkou mocnimu dané matice (a tudíž se systém nerozpadá na několik ``vzájemně nekomunikujících'' částí). To budeme mlčky předpokládat i my v dalším zkoumání, kterému však pro kontrast předešleme jednoduché

tex2html_wrap_inline47710 cvičení. Nezáporná matice tex2html_wrap_inline47308 je nilpotentní právě tehdy když neexistují cykly libovolné délky tex2html_wrap_inline54520 takové, že tex2html_wrap_inline54522 .

(Je vůbec třeba předpokládat nezápornost matice ???) Pro positivní matice (ve smyslu předchozí poznámky) platí následující důležité tvrzení.




next up previous contents index
Next: Perron-Frobeniova věta Up: Letní semestr Previous: Metoda variace konstant a

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997