next up previous contents index
Next: O nalezení ``největšího'' vlastního Up: Positivní matice Previous: Positivní matice

Perron-Frobeniova věta

  Nechť tex2html_wrap_inline47308 je positivní matice. Označme symbolem

equation33970

spektrální poloměr   tex2html_wrap_inline47308 .

Pak tex2html_wrap_inline54528 pro nějaké vlastní kladné číslo tex2html_wrap_inline49990 . Navíc, toto ``největší vlastní číslo'' je jednoduché. Dále, pro libovolnou počáteční volbu kladného vektoru tex2html_wrap_inline49094 platí

equation33982

kde tex2html_wrap_inline54534 je konstanta závisící na tex2html_wrap_inline49094 , vektor tex2html_wrap_inline49152 je vlastní vektor příslušící tex2html_wrap_inline49990 (tato věta implikuje, že je jen jeden!) a zbytek má řád tex2html_wrap_inline48400 , kde q je podíl druhého největšího čísla ku tex2html_wrap_inline49990 .

Je-li navíc tex2html_wrap_inline47308 stochastická, je tex2html_wrap_inline54550 . Vektor tex2html_wrap_inline49152 potom nazveme stacionárním stavem   a je tex2html_wrap_inline54554 .

Poznámka. Je tedy

equation33999

Tyto dva vztahy nám dávají návod k přibližnému výpočtu tex2html_wrap_inline54556 a tex2html_wrap_inline49152 .

Cvičení. Pokuste se samostatně dokázat některá z uvedených fakt.

Návod k důkazu Perron-Frobeniovy věty. ( tex2html_wrap_inline47304 )

Poznámka o přibližném výpočtu spektrálního poloměru.

Uvedené vztahy

equation34179

kde tex2html_wrap_inline51700 , tex2html_wrap_inline54626 , lze zobecnit pro libovolnou matici (i pro případ, kdy tex2html_wrap_inline54628 s komplexním tex2html_wrap_inline49990 ); tam však musíme pracovat s dvěma přibližnými rovnostmi místo jedné).

Formulujte toto zobecnění a (ovládáte-li již dobře teorii Jordanova tvaru) dokažte příslušná tvrzení.

Cvičení. Pohyb bludištěm. Mějme dvojrozměrné konečné bludiště tzn. systém pokojů s dveřmi (některé z nich vedou ven) takový, že v každém pokoji máme zadáno rozdělení pravděpodobnosti, udávající s jakou střední četností budeme jednotlivými dveřmi z daného pokoje vystupovat popř. zda zůstaneme sedět na místě. (Například předpoklad rovnocennosti všech viditelných dveří tzn. totální desorientace putujícího.) Předpokládejme že kterékoliv dveře fungují oboustranně tzn. používají li se, tak oběma směry - i když nikoliv nutně se stejnou četností. (Takovýto předpoklad neexistence pastí lze definovat i obecněji, zformulujte.) Potom náhodný (nezemdlený, tudíž stále se pohybující ovšem) poutník ``časem určitě vyleze z bludiště''. Matematisujte (rozměr matice je dán počtem pokojů plus jedna, zkoumaným vektorem je pravděpodobnost pobytu v různých pokojích v daném čase uplynulém od vchodu do bludiště zvolenými dveřmi), vyřešte a případně i odhadněte střední čas strávený pobytem v bludišti pro nějaký konkrétní labyrint. (Chcete-li ovšem podrobnější odhady druhého největšího vlastního čísla atp., dá to dost práce.)


next up previous contents index
Next: O nalezení ``největšího'' vlastního Up: Positivní matice Previous: Positivní matice

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997