next u
p previous contents index
Next: Násobení mnoha matic alias Up: Positivní matice Previous: Grupy positivních matic

Feynmanův integrál

   Idea ``integrálu přes všechny trajektorie''  vznikla nejprve v pracích N.Wienera (1920 tex2html_wrap_inline54712 30) budujících teorii Brownova pohybu. Jde o zkoumání pologrupy  tex2html_wrap_inline54714 , kde tex2html_wrap_inline51610 je Laplaceův operátor v  tex2html_wrap_inline47396 , tex2html_wrap_inline49020 apod. V tomto případě byla vybudována matematicky rigorosní analogie úvah, které budeme provádět v této sekci.

Podobnou ideu rozvinul heuristicky Richard Phillips Feynman poté, co ho do reje fysiky opět vtáhl problém, proč má tenký talíř rotující a houpající se ve vzduchu poměr frekvencí těchto dvou pohybů právě 1:2, a získal tak alternativní formulaci kvantové mechaniky, která je dnes velmi populární. Jeho konstrukce analogií vztahů, jež uvedeme za chvíli, pro operátor tex2html_wrap_inline54724 dosud nenašla matematicky precisní tvar (vyjma případu diskutovaného níže v odstavci Feynmanův integrál a exp.matice). Za posledních 40 let bylo učiněno několik pokusů ``zařadit tento pojem plně do matematiky''. Vyšlo i několik přehledných článků, dokonce i knih majících ambiciózní názvy jako ``matematicky rigorózní teorie Feynmanova integrálu''; ještě více matematiků si na předmětu asi vylámalo zuby (které naštěstí někdy narostly znovu) a dost bylo asi také těch, kteří si na čas mysleli (koneckonců i jeden z autorů těchto skript před mnoha lety...), že se s problémem vyrovnali tím, že dokázali, že Feynmanův integrál ``neexistuje''. On skutečně existuje jako ``integrál'' či ``míra'' (ve smyslu mat.teorie míry) prakticky pouze pro grupy konečných matic (viz níže) resp. nekonečných positivních matic, jak specialisté dobře vědí. (Však je na něm také založena rozsáhlá část soudobé teorie pravděpodobnosti a teorie potenciálu). Konkrétně, Feynmanův integrál vybudovaný pro rovnici vedení tepla je matematicky zcela v pořádku na rozdíl od rovnice Schrödingerovy. Rozdíl je dán kladností příslušného ``jádra'' tex2html_wrap_inline54726 v kontrastu s komplexním jádrem tex2html_wrap_inline54728 pro rovnici Schrödingerovu. Rozdíl v matematických potížích v těchto dvou zdánlivě analogických situacích je tak propastný, že vedl po dobu několika desetiletí matematické i teoretické fysiky (viz poznámku na téma vztahu těchto dvou - poněkud odlišných - způsobů nazírání fysiky na konci této kapitoly) ke konstruování ``euklidovských variant'', jakýchsi analogií skutečné fysiky založených, zjednodušeně řečeno, na náhradě čísla i číslem -1 v exponenciále, tzn. na náhradě Schrödingerovy rovnice rovnicí vedení tepla. (Tak postupují i fysici, prodlužují-li analyticky problém do ``imaginárního času'' resp. do ``euklidovského časoprostoru'', kde dostanou výsledky, které převedou opět do reálného času.

Zdá se však, že přistupovat k problému Feynmanova integrálu jenom z matematických posic není rozumné. Lepší je asi objekt intensivně (nerigorózně, co se dá dělat...) zkoumat (což se třeba v teorii elementárních částic vydatně děje; tam i v jiných oblastech současné fysiky jsou Feynmanovy integrály skutečným pilířem teorie) a tím vyjasnit jeho požadované vlastnosti před tím, než se ho násilně pokusíme vměstnat do existujících matematických struktur (ať už to je teorie míry či cokoliv jiného), z nichž žádná nemusí být adekvátní. Pokud je metoda skutečně užitečná, tak se asi někdy vhodný matematický formalismus objeví - podobně, jako se časem objevil pro popis delta funkce, operátorového kalkulu apod. (Už to ale trvá v případě Feynmanova integrálu dost dlouho... zdá se však, že vhodný formalismus je nyní do značné míry připraven v současném pojmovém aparátu tzv. clusterových rozvojů matematické statistické fysiky.) A nyní tedy blíže k věci:

Feynmanova interpretace kvantové fysiky se dá zjednodušeně vyložit takto: při běžném přechodu od teorie klasické k teorii kvantové nahradíme veličiny klasické teorie nějakými operátory, vydedukujeme jejich komutátory atd. a získáme vzorec pro hamiltonián, podle něhož se v čase mění stavový vektor (Schr”dingerovo pojetí) nebo operátory (Heisenbergovo pojetí).

Skutečnost, že částice už nemá přesnou trajektorii (resp. v teorii pole že pole nemá přesné hodnoty ve všech místech prostoru a ve všech časech), lze spolu s Feynmanem vyložit tak, že všechny myslitelné trajektorie přispívají  amplitudě pravděpodobnosti (což je komplexní číslo takové, že čtverec jeho absolutní hodnoty nám dává pravděpodobnost nebo její hustotu) činitelem

equation34328

kde S je účinek (časový integrál z lagranžiánu) a tex2html_wrap_inline54736 je Planckova konstanta. Skutečnost, že limitním případem kvantové teorie je klasický pohyb po konkrétní trajektorii, teď vysvětlíme tak, že v tomto případě se fáze tex2html_wrap_inline54738 rychle mění a příspěvky (komplexní jednotky) se s velkou přesností ruší s výjimkou trajektorií v blízkosti klasické, která splňuje tex2html_wrap_inline54740 , a proto přispívá největším dílem.

Feynman vtipně aplikoval své integrály na  kvantovou teorii pole; integroval tedy přes všechny možné hodnoty pole a získal pravidla pro výpočet elementů  S-maticegif (z níž se dají spočítat účinné průřezy různých rozptylových procesů). Amplitudy (elementy S-matice) se získají sumací přes různé Feynmanovy diagramy  . To jsou ty obrázky, kde např. jeden ze dvou vstupujících elektronů ``vyšle'' virtuální foton, který druhý z nich ``pohltí'', a tím modelujeme interakci mezi elektrony (k amplitudě přispívají i složitější procesy, kde se např. virtuální foton změní na moment na elektron-positronový pár).

Navíc, Feynmanovy diagramy jdou pozměnit na případ, kdy elementární stavební objekty nejsou bodové částice, ale struny tak, že získají tvar spojujících se a rozpojujících ``trubek'' (např. ``kalhot''), a lze získávat i amplitudy pro teorie stringů. Jestliže u ``bodových'' diagramů již diagramy s jedním rozdělením fotonu na elektron-positronový pár (diagram polarisace vakua ) dávaly nekonečný příspěvek, ze kterého se získává konečná hodnota určitou regularisací (přiřazováním konečných hodnot divergujícím integrálům), některé (super)stringové teorie vycházejí zcela konečné.

V průběhu let se objevily i jiné způsoby (než jsou integrály po trajektoriích), jak odvodit Feynmanovy diagramy (např. Freemana Dysona), ale ``path-integrály'' zůstávají nejoblíbenějšími.

Podíváme se nyní na nejjednodušší příklady.


next up previous contents index
Next: Násobení mnoha matic alias Up: Positivní matice Previous: Grupy positivních matic

Luboš Motl a Miloš Zahradník
Sat Nov 1 23:22:02 EST 1997