... okopírovaných% latex2html id marker 66330
\setcounter{footnote}{1}\fnsymbol{footnote}
Kopírování beze změny, pokud se děje v priměřeném rozsahu, považujeme za výraz nejvyššího uznání těm, jejichž text kopírujeme.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... například% latex2html id marker 66403
\setcounter{footnote}{2}\fnsymbol{footnote}
Zde můžeme volit libovolné číslo, řídíme se jen podle toho, s čím se nám bude později lépe počítat.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... tedy% latex2html id marker 66426
\setcounter{footnote}{3}\fnsymbol{footnote}
Zde nelze volit $ z=0$, protože pak bychom dostali triviální řešení $ x=y=0$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... nezávisí% latex2html id marker 66681
\setcounter{footnote}{4}\fnsymbol{footnote}
Pokud do cesty $ i_1,\ldots,i_k$ přidáme libovolnou smyčku $ C$, pak se $ u_k$ změní o  $ \sum_{(i,j)\in C}
U_{ij}- \sum_{(i,j)\in C} R_{ij}I_{ij}=0$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... (grupu% latex2html id marker 66787
\setcounter{footnote}{5}\fnsymbol{footnote}
Můžeme si ji představit jako $ \{1,-1\}$ s operací násobení. Tomuto ztotožnění se říká izomorfismus.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... podgrupa% latex2html id marker 66855
\setcounter{footnote}{6}\fnsymbol{footnote}
Což je pravda: $ {\mbox{{\bbseven A}}}_4$ jsou sudé permutace, tedy $ z^{-1}az$, $ a\in {\mbox{{\bbseven A}}}_4$ je opět sudá permutace. Používá se také pojem normální podgrupa.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... násobení% latex2html id marker 66883
\setcounter{footnote}{7}\fnsymbol{footnote}
Svislá čárka se píše u grupy, která není invariantní. Mnemotechnická pomůcka: vezmete-li prvek z  {\bbeight A}$ _4$, proženete ho grupou {\bbeight S}$ _2$ (pomocí automorfizmu), dostanete opět prvek z  {\bbeight A}$ _4$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...-četné% latex2html id marker 66917
\setcounter{footnote}{8}\fnsymbol{footnote}
Osa, vzhledem ke které je rotace o $ 2\pi/n$ symetrií.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... samozřejmě% latex2html id marker 66946
\setcounter{footnote}{9}\fnsymbol{footnote}
V příkladu 2.4 je vysvětleno, proč existují pouze dvě neizomorfní čtyřprvkové grupy. Cyklická a diedrická (definovaná vztahem $ a^2=b^2=c^2=1$).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
Nezapomeneme ale, že $ r_i\in\{1,z\}$ a $ s_i\in\{1,z'\}$, kde $ z,z'$ jsou různá zrcadlení (tj. $ -1$ na prvním místě není totéž, co $ -1$ na druhém místě).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...izomorfní
Prvky izomorfních grup lze jednoznačně přiřadit nějakým zobrazením $ \phi$ tak, že $ \phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$, tudíž dvě izomorfní grupy lze považovat za stejnou grupu, kde jen prvky nazýváme různými jmény; místo značky pro izomorfismus si proto dovolíme užívat rovnítko.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...transpozicí
Permutace, která se od identity liší jen tím, že prohodí dva prvky.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...-úhelníka
Tyto symetrie si lze dobře představit takto: očíslujeme-li vrcholy $ 1$$ n$, pak operaci symetrie odpovídá taková permutace těchto čísel, která zachovává vlastnost ,,sousedit s''. Tedy v praxi lze pouze ,,protočit'' cyklus o $ 1$$ n$ poloh či obrátit směr obíhání.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... a% latex2html id marker 67650
\setcounter{footnote}{3}\fnsymbol{footnote}
V posledním vztahu lze také cyklicky zaměňovat indexy, aniž by to mělo vliv na jeho platnost. Celkově jej lze zapsat $ \sigma^k\sigma^j={i}\varepsilon _{kjl}\sigma^l$, kde za $ k,j,l$ dosazujeme $ x,y,z$ a sčítáme přes index $ l$ v duchu Einsteinovy sumační konvence. Symbol $ \varepsilon ^{kjl}$ je roven nule s výjimkou případů $ \varepsilon ^{xyz}=\varepsilon ^{zxy}=\varepsilon ^{yzx}=1$, $ \varepsilon ^{yxz}=\varepsilon ^{zyx}=\varepsilon ^{xzy}=-1$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... disjunktní4
Až na společný jednotkový prvek.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... součin5
Viz také příklad 2.1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... tvrzení6
Nonšalatní je ale už i tvrzení, že $ {\mbox{{\bb G}}}$ je grupa. Při důkazu asociativity budeme potřebovat $ \alpha_{a}^f \alpha_{b}^f=\alpha_{ab}^f$ ($ f$ je morfismus). Neutrální prvek je $ (1,1)$, inverzní prvek najdeme dále.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... platí7
To není formalita: srovnejte {\bb Z}$ _{10}\times$   {\bb Z}$ _{10}$ a {\bb Z}$ _{100}$). V první grupě mají všechny prvky řád menší nebo rovnen 10 (tj. $ g^{10}=1$, $ \forall g\in$   {\bb Z}$ _{10}\times$   {\bb Z}$ _{10}$).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... délky8
Jeden obsahuje členy na sudých místech v původním cyklu, druhý členy na lichých místech.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... žádný9
V rozporu s učebnicí Pěstujeme lineární algebru [PLA] zde pod pojmem délky cyklu rozumíme počet prvků cyklu se účastnících, viz obrázek 5. Pokud bychom se drželi tam uvedené definice, vedlo by to k matoucímu prohození významů slov ,,lichý'' a ,,sudý''.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... Lloydova10
Sam Lloyd byl americký ,,král křížovek''.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... patnáctky11
Říkáme, že $ C$ a $ H$ generují grupu všech sudých permutací množiny $ \{1,\ldots,15\}$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... že% latex2html id marker 68609
\setcounter{footnote}{3}\fnsymbol{footnote}
Dejte pozor na pořadí indexů.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... násobek4
Například $ 5\cdot
(x^2+2),\ (2x+1)\cdot (x^2+2)$ atp. Druhou možnost v tomto případě neuplatníme, ale pokud počítáme modulo polynom vyššího stupně, tak ano.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... k5
Podobně jako v ,,tělese'' {\bbeight Z}$ _{14}$ nenajdeme inverzní prvek k $ 2$ a $ 7$ (a jejich násobkům). Ireducibilita $ x^2+2$ je tedy analogická k požadavku, že $ p$ je prvočíslo u  {\bbeight Z}$ _p$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... míst.6
Formule (15) není výjimečná a lze najít i mnohem jednodušší, například Eulerův vztah $ \mathop{\rm arctg}\nolimits (1)=\mathop{\rm arctg}\nolimits (1/2)+\mathop{\rm arctg}\nolimits (1/3)$, který dokážeme podobně: $ (2+i)(3+i)=(5+5i)$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... součin7
Složkový součin dvou vektorů $ \vec{a}$ a $ \vec{b}$ je $ \vec{a}\cdot \vec{b}=\sum_{i}a_i b_i$. V konečných tělesech $ \vec{a}\cdot \vec{b}$ není skalárním součinem, neboť nesplňuje $ \vec{a}\cdot
\vec{a}\not=0$ pro $ \vec{a}\not=0$, a proto nebudeme označení skalární součin pro toto zobrazení používat.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... diferencemi8
Symetrická diference množin $ A,B$ je množina prvků, které leží jen v $ A$ nebo jen v $ B$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... kombinaci9
Lineární kombinace v  {\bbeight Z}$ _2^n$ je pouze sčítání vektorů.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... nerovnosti10
Ta v podstatě říká, že v blokové matici (např. blokově diagonální matici) $ n\times n$ je počet bloků vždy nejvýše roven $ n$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... napnutého11
Odpusťte autorovi tento anglický slovní obrat. Lze říct také ,,dimenzi lineárního obalu funkcí $ f$, $ g$, $ h$''.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... (derivace12
V tomto příkladu budeme potřebovat vědět pouze to, že derivace je lineární zobrazení a že $ (x^n)'=nx^{n-1}$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... protože13
Lze samozřejmě také použít známé lemma pro lineární zobrazení $ a$: $ \dim W=\dim a(W)\Rightarrow a$ prosté.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... podmínek14
Celkem $ 2n$ různých součtů se má rovnat sobě navzájem, což znamená obecně $ 2n-1$ podmínek, jelikož součet může být libovolný. Ovšem součty všech čísel v řádkách (součet všech řádkových součtů) a všech čísel ve sloupcích (součet všech sloupcových součtů) se automaticky rovnají, což znamená, že jedna z podmínek byla lineárně zavislá na ostatních (porovnáním součtů $ n$ ,,řádkových'' rovnic a $ n$ ,,sloupcových'' rovnic dostáváme triviální rovnici $ ns=ns$). Proto jen $ 2n-2$ je nezávislých.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... aneb15
symbol $ \cdot$ značí eukleidovský skalární součin, $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \sum _{i=1} ^3 a_ib_i$, platí $ \vec{a} \cdot \vec{b} =\Vert\vec{a} \Vert \Vert \vec{b} \Vert \cos
\phi$, kde $ \phi$ úhel mezi vektory $ \vec{a}$ a $ \vec{b}$
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... matice16
$ A^\dag$ označuje hermitovsky sdruženou matici k $ A$, tedy transponovanou matici s komplexně sdruženými elementy. V komplexních prostorech je $ \vert\vec{v}\vert _2=\sqrt{\sum\nolimits_i \vert v_i\vert^2}$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... přívlastků17
Gramatická pozn.: tzn. slov, která je charakterizují (např.: bílý, tvůj, první). Doporučení: Nejdříve se snažte přijít na co možná nejvíce vlastností Pauliho matic sami, a teprve poté, až Vám dojde fantazie, se začtěte do následujících řádků.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... toru18
Tím myslíme množinu {\bb C} ,,modulo'' $ v_1,v_2$, to znamená rovnoběžník $ \{mv_1+nv_2\vert\, m,n\in\langle 0;1)\}$, v němž ztotožníme rovnoběžné strany. Pokud bychom ztotožněné strany slepili k sobě, vznikl by při prvním lepení plášť válce a při druhém torus. To odpovídá fyzikálně dvourozměrnému systému s periodickými okrajovými podmínkami.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... indexů19
Indexy se mohou i opakovat.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... doplňkem20
Algebraický doplněk množiny $ M$ tvoří všechny ty vektory, které mají s libovolným vektorem z $ M$ nulový složkový součin. Pokud by byl složkový součin skalárním součinem (například v  {\bb R}$ ^n$), stal by se z algebraického doplňku ortogonální doplněk. Tvrzení, že součet dimenze {\Cal L}$ (M)$ a dimenze algebraického doplňku je dimenze celého prostoru, je pouze variace na téma dimenze jádra plus dimenze obrazu.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... incidentní21
Vcházející či vycházející.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... nulová22
To je netriviální tvrzení. Nejprve ukažte, že nenulové složky musí mít všichni sousedé $ i_0$, pak sousedé sousedů, atd.; použijete přitom bod 3 tohoto příkladu. My budeme toto tvrzení potřebovat ve skutečnosti jen pro sousedy.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... vynulovat23
Základní možnosti, jak upravovat determinant, jsou uvedeny v příkladu 8.1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... nezávislé24
Nezávislost znamená, že $ x_1,\ldots,x_{n-1}$ mohou nabývat libovolných hodnot. Nikdo jistě nepochybuje, že pro $ x_1=1$, $ \dots$, $ x_{n-1}=n-1$ jsou výrazy $ x_n-1$, $ \ldots$, $ x_n-(n-1)$ nesoudělné.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... dostane25
Toto je typický příklad sčítání přes konečnou grupu. Platí totiž {\bb G}$ =\{a_1,\ldots,a_n\}=\{ba_1,\ldots,ba_n\}$, kde $ b$ je libovolný prvek grupy {\bb G}.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... zobrazení26
Věta o spektrálním rozkladu nám zaručuje, že takovou diagonalizaci lze provést pro libovolný hermitovský operátor ($ A^\dag=A$; stačí dokonce pouze, aby byl operátor normální, $ AA^\dag =A^\dag A$).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... závorkách27
Pokud jsme si náhodou nevšimli, že lze z hranaté závorky vytknout $ \lambda-8$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... jednoduše28
Obvykle se připomíná, že $ U^\dagger =U^{-1}$ pro matice unitární, tedy matice jejichž řádky tvoří ortonormální systém ve smyslu skalárního součinu komplexních vektorů. Pro reálné matice jsou pojmy ``unitární'' či ``ortogonální'' ekvivalentní.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... sloupců29
Matice $ C$ má z vektoru zapsaného ve složkách v bázi $ \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}$ udělat složky v bázi kanonické. Srovnejte s příkladem 4.9.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... (totožných30
Pozor, neříkáme, že $ (d_B-\lambda \mathbbm{1})^2=(d_B-\lambda \mathbbm{1})^3$. Pouze jádra těchto matic se shodují.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... stačí31
Jiná možnost by byla spočítat matici $ (d_B-\lambda \mathbbm{1})^2$ -- buď umocněním již známé matice $ d_b-\lambda\mathbbm{1}$, anebo jednoduše určením působení této matice na bázové funkce $ B$ -- najít řešení $ (d_B-\lambda \mathbbm{1})^2\vec{v}_2=0$ a dopočítat $ \vec{v}_1=(d_B-\lambda \mathbbm{1})\vec{v}_2$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... rovnic32
Jistě vidíte, jak jsme tyto rovnice získali: na $ i$-tou kuličku (která není na kraji) působí sousední kuličky celkovou silou úměrnou délce pružiny, tedy $ m\ddot{x}_i=F=-k(x_i-x_{i-1})-k(x_i-x_{i+1})$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... matice33
Matice splňující $ A^TA=\mathbbm{1}$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... jedna34
Nevlastní otočení jsou otočení spojená se zrcadlením.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... grupy35
U konečných grup (a nekonečných kompaktních grup) platí, že každou reprezentaci lze ,,poskládat'' z ireducibilních reprezentací.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... porucha36
Toto označení pochází z úloh řešených tzv. poruchovým počtem, kde známe vlastní čísla a vlastní vektory pouze u operátoru $ H_0$ a hledáme je také pro $ H=H_0+\alpha V$. Vlastní vektory a vlastní čísla $ H$ zapíšeme ve tvaru řady v mocninách $ \alpha$ a zajímáme se většinou pouze o lineární a případně kvadratický člen: to je přijatelné pouze pokud je $ \alpha$ malé, a $ \alpha V$ je tedy pouze slabá porucha k $ H_0$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... hladiny37
Formule (76) ukazuje, že i pro $ \varepsilon _1\ne\varepsilon _2$ porucha způsobí, že se hladiny od sebe vzdálí ( $ \vert\lambda_1-\lambda_2\vert>\vert\varepsilon _1-\varepsilon _2\vert$).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... jeden38
Tím myslíme, že prostor vlastních vektorů je jednorozměrný.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... znamená39
Věděli jsme to už v okamžiku, kdy jsme spočítali $ \dim($ Ker $ {}A-\lambda\mathbbm{1})=1$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... generují40
Pokud místo $ \exp(iMt)$ používáme $ \exp(Mt)$, budou to antihermitovské matice $ i\sigma_1$, $ i\sigma_2$, $ i\sigma_3$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... neboť41
Pokud bychom používali definici s  $ \exp(\varphi \sigma_1)$, byl by infinitesimální generátor $ i\sigma_1$ místo $ \sigma_1$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... jedna42
Grupa $ \{\exp(i\varphi _1\sigma_1)\,,\ \varphi _1\in${\bb R}$ \}
\times\{\exp(i\varphi _2\sigma_2)\,,\ \varphi _2\in${\bb R}$ \}$ by byla kandidátem na takový dvourozměrný torus. Matice $ \exp(i\varphi _1\sigma_1)$, $ \exp(i\varphi _2\sigma_2)$ spolu ale nekomutují. Upozorňujeme, že díky tomu výše naznačený součin nelze vůbec realizovat jako podgrupu {\bb SU}$ (2)$ (jinými slovy grupy, které násobíme, nejsou invariantní podgrupy {\bb SU}$ (2)$, viz příklad 2.7).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... smyčky43
Opět nezapomeňte, že $ w_{i,i} =0$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... jako44
Další minus! To je zde proto, že každý cyklus liché délky (tedy cyklus permutující lichý počet prvků) je sudá permutace a naopak. Naše definice $ w_S$ tedy vskutku dává sudým cyklum v definici permutace znaménko minus, tak jak to ma být.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... osy45
Pro puntičkáře: otočení kolem vektoru $ (1,0,0)$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... algeber46
Vlastní klasifikace se provadí pro komplexní Lieovy algebry, k nimž je jednoznačně přiřazena jejich kompaktní reálná forma.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....47
V literatuře se bohužel vyskytuje i opačná konvence.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... zakázáno48
Sice jsme dokázali, že $ {\mbox{{\goths e}}}_9$ nemůže být kompaktní algebra konečné dimenze, je však ekvivalentní tzv. afinnímu rozšíření algebry $ {\mbox{{\goths e}}}_8$, což je určitá Lieova algebra nekonečné dimenze.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... vektorů49
Pro necyklické permutace se změní pouze znaménko. Je to totiž také determinant matice, do jejíchž řádků napíšeme vektory $ \vec{a}$, $ \vec{b}$, $ \vec{c}$, neboli objem příslušného rovnoběžnostěnu.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... řádku50
Vznešeně řečeno ztotožnili jsme duální prostor s původním prostorem pomocí skalárního součinu (bilineární formy $ b$). Vektoru $ \vec{a}=(a^1,a^2,a^3)$ jsme přiřadili formu {\mb \char11 }$ $, která je definovaná {\mb \char11 }$ (\vec{x})=b(\vec{x},\vec{a})$. Jednoduchému tvaru této formy -- v našem případě je $ b(\vec{x},\vec{a})=\delta_{ij} x^ia^j$ -- také vděčíme za to, že je toto ztotožnění tak jednoduché: $ \alpha_i=\delta_{ij} a^j$, tj. $ \alpha_i=a^i$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... také51
Tedy $ \langle\psi_i\vert $ značí formu $ \psi_i(\vec{x})=\vec{v}_i\cdot \vec{x}$. Ztotožnili jsme tedy prostor s jeho duálem pomocí bilineární formy dané skalárním součinem (viz také příklad 13.2).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... můžeme52
Toto tvrzení není zcela triviální. Inverzní matice k  $ A-\alpha\mathbbm{1}$ sice existuje, ale je potřeba ověřit, že ji lze vyjádřit jako polynom v $ A$. Důkaz je tento: pokud $ T(\alpha)$ není 0, existuje $ k$ tak, že $ kT(\alpha)+1=0$. Pak je $ kT(x)+1$ polynom s kořenem $ \alpha$ a lze jej tedy dělit $ x-\alpha$: existuje $ P(x)$, že $ (x-\alpha)P(x)=kT(x)+1$, neboli $ (x-\alpha)P(x)=1 \mathop{\rm mod}\nolimits
T(x)$. Polynom $ P(x)$ je invers k  $ (x-\alpha)$. $ \mathop{\vbox{\hrule\hbox{\vrule height 5pt\hskip4.2pt\vrule}\hrule}}\nolimits $ Tvrzení, že k polynomu $ x-\alpha$ existuje inverze v tělese se sčítáním a násobením modulo $ T(x)$, $ T(\alpha)\ne 0$, odpovídá intuitivně tomu, že v okruhu $ \{0,1,\ldots,n-1\}$ se sčítáním a násobením modulo neprvočíselné $ n$ existuje inverze k násobení pro prvky nesoudělné s $ n$ (příklad 3.1). O existenci inverze se lze u polynomů přesvědčit také přímým výpočtem: získáme soustavu $ n$ lineárních rovnic, o níž stačí dokázat, že má řešení.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... polynomem53
Minimální polynom matice $ A$ je ten z polynomů splňujících $ P(A)=0$, který má nejmenší stupeň (je jednoznačně dán až na násobek). Víme, že například charakteristický polynom splňuje $ P(A)=0$, ale aby vyšla nula, stačí brát v rozkladu $ P(x)$ na kořenové činitele člen $ (x-\lambda_i)$ pouze v mocnině rovné délce nejdelšího řetězce pro vlastní číslo $ \lambda_i$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... formální54
Tím máme na mysli, že bychom měli správně říkat: pro zadanou (hladkou) funkci $ f(x_1,\ldots, x_n)$ uvažujme vektor $ (\partial/\partial
\vec{x}) f=(\partial f/\partial x_1,\ldots, \partial f/\partial x_n)$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... koeficienty55
Představme si ,,poledník'' v souřadnicích $ \{z_i\}$ příslušný k $ z_k$ (tj. všechny $ z_i$, $ i\not=k$ jsou konstantní) a tečný vektor k němu. Délku tohoto vektoru definujme jako délku oblouku (ku $ \Delta z_k$), který po poledníku opíšeme, pokud změníme $ z_k$ $ \Delta z_k$ (v limitě $ \Delta z_k\to 0$). Takový vektor je právě $ k$-tý sloupec matice $ J$ a jeho délka je rovna $ \lambda_k$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... sloupcem56
Například $ A_{2,3}$ je determinant matice $ 2\times 2$, která vznikne z $ A$ vynecháním druhého sloupce a řádku a třetího sloupce a řádku.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... z nich57
Minimální polynom je určen jednoznačně až na násobek číslem.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... konce58
Tento postup má v obecném případě určitou nevýhodu. Když vytvoříme nový řetězec, musíme se přesvědčit, že je lineárně nezávislý s předchozími řetězci, neboli, že koncové vektory (vpravo) všech již vytvořených řetězců jsou nezávislé. Pokud tomu tak není, musíme poslední řetězec vyřadit a zkusit jiný.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... nejprve59
$ \dim$ Ker $ {}A^2=3$, $ \dim$ Ker $ {}
A^3=4$
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... obecně60
I u matic s více vlastními čísly, kde $ A-\lambda \mathbbm{1}$ není nilpotentní.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... zobrazení61
Zobrazení, jenž má v kanonické bázi matici $ A$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ukázat62
Není to složité, pokud dokážete, že každý polynom takového OPS obsahuje buď pouze sudé, nebo pouze liché mocniny.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... jam\-kou63
Operátor tvaru (132) popisuje částici s potenciální energií vyjádřenou funkcí v druhém členu; zde je tedy $ E_{pot}(x)=-\frac{1}{2}n(n+1)/\cosh^2 x$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... operátor64
Sdružený operátor k  $ \widehat{A}_n$ je ten, který splňuje $ \langle\psi\vert\widehat{A}_n \varphi \rangle =\langle\widehat{A}_n^\dagger \psi\vert\varphi \rangle $, pro každé dvě (kvadraticky integrabilní) funkce $ \psi,\varphi $. Přitom $ \langle \psi\vert\varphi \rangle =\int
\overline{\psi}\varphi \mathop{{\rm d}\!}\nolimits x$. Že (134) je skutečně sdružený k (132), si ověříme pomocí integrace per partes: $ \int
([-\mathop{{\rm d}\!}\nolimits /\mathop{{\rm d}\!}\nolimits x+V] \overli...
...olimits /\mathop{{\rm d}\!}\nolimits x+V] \varphi \mathop{{\rm d}\!}\nolimits x$, okrajový člen vypadne díky kvadratické integrabilitě $ \psi,\varphi $ (funkce musí v nekonečnu dostatečně rychle klesat, aby integrál kvadrátu vyšel konečný). Označili jsme $ V=n\tanh
x$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... stavy65
Vlastní funkce jistě najdete sami: pokud ne, podívejte se na začátek bodu c.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... antisymetrická66
$ T_{ij}= T_{ij}^{(s)}+T_{ij}^{(a)}=\frac{1}{2}
(T_{ij}+T_{ji})+\frac{1}{2}(T_{ij}-T_{ji}).$
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... kombinaci67
Neboť $ G_{12}+G_{21}=\sigma_1$, $ {\rm i}G_{12}+(-{\rm i})G_{21}=\sigma_2$, $ G_{11}-G_{22}=\sigma_3$, $ G_{11}+G_{22}=\mathbbm{1}$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ,,otočení''68
Odvoláváme se zde na podobnost s prostorem {\bb R}$ ^n$ a ortogonálními maticemi {\bb O}$ (n)$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... část69
$ T^{sym}_{ijk}=(1/3!)(T_{ijk}+T_{jki}+T_{kij}+
T_{jik}+T_{ikj}+T_{kji})$ a podobně pro tenzory vyšších řádů.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... části70
Hermiteovská část $ \widehat{C}$ je definována podobně jako symetrická část pomocí $ \frac{1}{2}(\widehat{C}+\widehat{C}^\dagger)$, což je zjevně hermitovský operátor.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...prostorech71
Matematik by mluvil o ,,restrikcích'' $ \widehat{A}_i\vert _{V(E)}$, $ \widehat{L}_j\vert _{V(E)}$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... souřadnic72
Ověřte dosazením $ \widehat{p}_m=-{i}\hbar(\mathop{{\rm d}\!}\nolimits / \mathop{{\rm d}\!}\nolimits x_m)$. Všimněte si, že pro celý výpočet (zde i v [PLA]) potřebujeme znát právě jen hodnotu komutátoru $ [\widehat{x}_l,\widehat{p}_m]$ a vůbec ne konkrétní tvar $ \widehat{x}_l$ a $ \widehat{p}_m$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... operátoru73
Rovnost (159) není napsána zcela precizně: na levé straně je operátor působící na stavech v  {\bb R}$ ^N$, napravo jsou operátory působící jednorozměrné stavy (tj. v  {\bb R}). Např. operátorem $ \widehat{H}_1$ na pravé straně máme na mysli $ \widehat{H}_1\otimes\mathop{{\rm Id}}_2\otimes \ldots\otimes \mathop{{\rm Id}}_{n}$, tj. operátor působící na $ N$-dimenzionální stavy tak, že ,,zapůsobí na první dimenzi a ostatní nechá na pokoji''.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... proměnné74
Funkce splňující $ \widehat{H}\psi_n(\xi)=\hbar\omega(n+\frac{1}{2})\psi_n(\xi)$ má tvar ,,exponenciála klesající pro $ \vert x\vert\to\infty$ krát $ n$-tý Hermiteův polynom''.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... v bázi75
Prvek této báze popsaný indexy $ \xi'_1,\ldots,\xi'_N$ je vektor stavu částice lokalizované v bodě $ \xi'_1,\ldots,\xi'_N$. S nadhledem pomíjíme skutečnost, že již báze $ \vert\delta(\xi'-\xi)\rangle $ v jednorozměrném případě je nespočetná, a že tyto bázové vektory vlastně už ve zmíněném prostoru stavů neleží, neboť je nelze definovat jako funkce a musíme použít distribuce [Či].
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... relace76
$ \varepsilon _{ijk}$ je Levi-Civittův symbol, viz příklad 6.1 či 19.5.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... z vektorů77
Na {\bb R}$ ^n$ definujme skalární součin tak, aby byly operátory $ L_1,L_2,L_3$ hermitovské (pak je i $ \vec{L}^2$ hermitovský).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... jsou78
Vlastní vektory k případným vícenásobným vlastním číslům nemusí být automaticky kolmé, ale vždy je lze zvolit kolmé.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... plochu79
Přesněji řečeno na její tečnou rovinu v tomto bodě.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... funkce80
Vy, kdož toužíte pouze po matematickém problému, najděte si v řešení, jak vypadá matice $ F$ a proveďte její polární rozklad.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... gradientu81
Je to tenzor typu $ (1,1)$ na {\bb R}$ ^3$. Tyto tenzory lze chápat jako lineární zobrazení {\bb R}$ ^3\to${\bb R}$ ^3$, a proto jej tomto příkladu budeme brát jako obyčejnou matici $ 3\times 3$.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... funkce82
Holomorfní funkce $ F(\xi_1,\dots,\xi_n)$ více proměnných definujeme prostě tak, že vyžadujeme holomorfnost ve zbývající proměnné pro jakoukoliv fixovanou hodnotu ostatních proměnných.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... vztah\accent23u83
Je to, jako bychom násobili řádek maticí.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... Veličiny84
Případu $ p_{ii} \equiv 0$ ,,žádné ukotvení pružinek'' se říká ,,pole s nulovou hmotou''. Uvedená terminologie je puvodem z kvantové teorie pole (QFT).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...(Boost85
V češtině anglickému termínu boost odpovídá posouvání.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.