Matice otočení v  {\bb R}$ ^3$

Úkol: Budeme se zabývat vlastními otočeními {\bb R}$ ^3$ (těmi, jejichž determinant je jedna34).

a)
V kanonické bázi {\bb R}$ ^3$ najděte matici otočení o úhel $ \tau$ kolem osy dané jednotkovým vektorem $ \vec{u}=(u_1,u_2,u_3)^T$.
b)
Ukažte, že každé vlastní otočení lze složit ze tří ,,elementárních'' otočení, například (v tomto pořadí) kolem osy $ z$, $ x$ a opět $ z$.
c)
Najděte vztah mezi úhlem $ \tau$ a úhly elementárních otočení, ze kterých bylo dané otočení složeno.


Řešení: Na začátek úmluva: rotaci o úhel $ \varphi $ kolem osy $ \vec{o}$ budeme značit $ \widehat{R}_{\vec{o}}(\varphi )$, a její matici vůči kanonické bázi $ {R}_{\vec{o}}(\varphi )$.


a) Chceme-li otočit vektor $ \vec{x}$, všimneme si nejprve, že se mění jen jeho složka kolmá k ose rotace, tj.

$\displaystyle \vec{x}_{\perp}=\vec{x}-\vec{u}(\vec{x}\cdot\vec{u})\,.$

Všimněte si, že rozklad $ \vec{x}=\vec{x}_{\perp}+\vec{x}_{\Vert}$, $ \vec{x}_{\Vert}=\vec{u}(\vec{x}\cdot\vec{u})\in${\Cal L}$ (\vec{u})$, $ \vec{x}_\perp\in
V_\perp$ lze provést pro každý vektor $ \vec{x}$ a je vždy jednoznačný. To je přesně situace, kterou máme na mysli, pokud píšeme {\bb R}$ ^3=${\Cal L}$ (\vec{u})\oplus V_\perp$. Jelikož jsou navíc při zadaném skalárním součinu prostory {\Cal L}$ (\vec{u})$ a $ V_\perp$ na sebe kolmé (každý vektor {\Cal L}$ (\vec{u})$ je kolmý na každý vektor $ V_\perp$), nazýváme $ V_\perp$ ortogonálním doplňkem {\Cal L}$ (\vec{u})$.

Vraťme se ale k otočením v  {\bb R}$ ^3$. Zavedeme ještě vektor $ \vec{v}=\vec{u}\times\vec{x}_{\perp}$, který je kolmý na $ \vec{x}$ i $ \vec{u}$ a má stejnou velikost jako $ \vec{x}_{\perp
}$ (nemáte-li rádi symbol $ \times$, pak prostě ve složkách $ v_i=\varepsilon _{ijk}u_j(\vec{x}_{\perp})_k$; symbol $ \varepsilon _{ijk}$ je vysvětlen v příkladu 6.1b). Rotaci v rovině definované vektory $ \vec{x}_{\perp
}$ a $ \vec{v}$ pak vyjádříme

$\displaystyle R_{\vec{u}}(\tau)\vec{x}_{\perp}=
\vec{x}_{\perp}\cos\tau+\vec{v}\sin\tau\,,$

viz příklad 10.1. Znovu si vzpomeneme, že $ \widehat{R}_{\vec{u}}$ nemění $ \vec{x}_\Vert$. Po mírné úpravě ( $ \vec{u}\times\vec{x}=\vec{u}\times\vec{x}_{\perp}$) dostaneme výsledek

$\displaystyle \widehat{R}_{\vec{u}}(\tau)\vec{x}=
R_{\vec{u}}(\tau)(\vec{x}_{\...
...\vec{x}-
\vec{u}(\vec{x}\cdot\vec{u})]\cos\tau+(\vec{u}\times\vec{x})\sin\tau.$

Vidíme, že toto zobrazení je lineární. Samozřejmě to lze odpozorovat i z geometrické definice otáčení: například je jedno, zda dva vektory například (stejně) otočíme a pak sečteme, nebo zda je nejprve sečteme a pak otočíme.

Matice zobrazení $ \widehat{R}_{\vec{u}}$ pak bude (alespoň zkontrolujte, pro zkrácení píšeme $ \sin\tau=s$, $ \cos\tau=c$)

$\displaystyle {R}_{\vec{u}}(\tau)\hskip-1.5pt=\hskip-1.5pt
\left(\begin{array}...
...
u_1u_3(1-c)-u_2s&u_2u_3(1-c)+u_1s&u_3^2(1-c)+c\end{array}\right)\hskip-2.5pt
$

Matice vektorového součinu se počítá v příkladu 6.4, projektory na podprostory ( $ \vec{x}_\Vert$) najdete v příkladu 6.3.


b) Označme $ x'$, $ y'$, $ z'$ přímky, na které se při rotaci $ \widehat{R}$ zobrazí souřadnicové osy a $ p$ průsečnici rovin $ xy$ a $ x'y'$ (případ, kdy tyto roviny splývají, je triviální), viz obrázek 15. V první fázi provedeme otočení kolem osy $ z$ o takový úhel $ \varphi _1$, že osa $ x$ se zobrazí na přímku $ p$ (chceme-li, aby byly tyto úhly určeny jednoznačně, musíme se omezit na vhodný interval; otočení potom musíme provést tak, aby při něm kladná poloosa $ x$ přešla na příslušnou polopřímku na přímce $ p$; chcete-li, promyslete). Potom otočíme kolem nové osy $ x$, tj. přímky $ p$ o takový úhel $ \vartheta $, aby osa $ z$ přešla do požadované polohy $ z'$ (to lze, neboť osa $ z'$ je kolmá k rovině $ x'y'$, tedy i k přímce $ p$). Nakonec přidáme otočení kolem nové osy $ z'$ o takový úhel $ \varphi _2$, aby přímka $ p$ přešla na osu $ x'$. Existují tedy Eulerovy úhly $ \varphi _1$, $ \vartheta $ a $ \varphi _2$ takové, že

$\displaystyle \widehat{R}_{\vec{u}}(\tau)=\widehat{R}_{z'}(\varphi _2)\widehat{R}_{p}
 (\vartheta)\widehat{R}_{z}(\varphi _1).$ (69)

Ale otočení kolem os $ p$ i $ z'$ můžeme dostat pomocí otočení kolem os $ x$ a $ z$ (je to celkem názorné -- snad) jako
$\displaystyle \widehat{R}_p(\vartheta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \widehat{R}_z(\varphi _1)\widehat{R}_x(\vartheta)\widehat{R}_z^{-1}
(\varphi _1),$  
$\displaystyle \widehat{R}_{z'}(\varphi _2)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \big( \widehat{R}_p(\vartheta)\widehat{R}_z(\varphi _1)\big)
\wid...
..._z(\varphi _2)
\big(\widehat{R}_p(\vartheta)\widehat{R}_z(\varphi _1)\big)^{-1}$  

V prvém případě nejdřív přetočíme přímku $ p$ do osy $ x$, kolem které provedeme příslušnou rotaci, načež ji zase vrátíme zpátky na $ p$, ve druhém případě je to podobné, jen o krok delší.

Když toto dosadíme do (69), dostaneme

$\displaystyle \widehat{R}_{\vec{u}}(\tau)=\widehat{R}_z(\varphi _1)\widehat{R}_x(\vartheta)\widehat{R}_z(\varphi _2),$ (70)

tedy stejnou rotaci dostaneme také tak, že složíme otočení o stejné úhly, ale kolem původních os a v opačném pořadí!


c) Podobně jako v bodě a) značme pro zkrácení goniometrické funkce od úhlů $ \varphi _1$, $ \varphi _2$ a $ \vartheta $ po řadě $ c_1$, $ s_1$, $ c_2$, $ s_2$, $ C$, $ S$. Podle (70) stačí mezi sebou pronásobit tři matice odpovídající elementárním rotacím (viz příklad 10.1). Matice výsledného otočení bude

$\displaystyle {R}_{\vec{u}}(\tau)=
 \left(\begin{array}{ccc}
 c_1c_2-s_1s_2C&-c...
...1S\\ 
 s_1c_2+s_2c_1C&-s_1s_2+c_1c_2C&-c_1S\\ 
 s_2S&c_2S&C
 \end{array}\right)$ (71)

Chceme-li zjistit úhel otočení, které popisuje tato matice, nemusíme ji srovnávat s maticí $ {R}_{\vec{u}}(\tau)$, kterou jsme spočítali v bodě a. Stačí si vzpomenout, že stopa matice otočení o úhel $ \tau$ ale je $ 1+2\cos\tau$ (viz příklad 10.1). Srovnáním se stopou matice (71) dostaneme

$\displaystyle \cos\tau=\cos^2{\vartheta\over2}\cos(\varphi _1+\varphi _2)-
\sin^2{\vartheta\over2}\,,$

nebo také po úpravě

$\displaystyle \cos{\tau\over2}=\cos{\vartheta\over2}\cos{\varphi _1+\varphi _2\over2}\,.$

$ \ast$TB$ \ast$

Obrázek: Eulerovy úhly, pomocí nichž je definováno libovolné otočení v  {\bb R}$ ^3$. Představme si, že je na osy $ x$, $ y$ položen disk (je vyznačen čárkovaně). Nejprve otáčíme o  $ \varphi _1$ kolem osy $ z$ tak, aby osa $ x$ přešla do $ p$ (průsečnice rovin $ xy$ a $ x'y'$). Pak sklápíme rovinu $ xy$ (disk) kolem $ p$ (v té chvíli to je osa $ x$) o úhel $ \vartheta $, takže osa $ z$ přejde do konečné polohy $ z'$. Nakonec otáčíme podle této nové osy $ z'$ $ \varphi _2$, čímž dostaneme osy $ x$ a $ y$ do správné polohy.
=1mm \includegraphics[scale=0.7]{OBRAZKY/euler.eps} (-2,20)$ x$ (-28,50)$ z$ (-3,35)$ y$ (-16,34)$ \varphi $$ _2$ (-7,25)$ \varphi $$ _1$ (-27,40)$ \vartheta $ (-6,45)$ x'$ (-49,45)$ y'$ (-18,45)$ z'$ (-3,28)$ p$