Grupa Lorentzových transformací

Úkol: Charakterizujte lineární transformace na prostoru {\bb R}$ ^4$ (pro jednoduchost hovořme o jejich maticích), které zachovávají formu $ \varphi (\vec{x})=x_4^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2$, tedy transformace $ A$, pro které $ \varphi (Ax)=\varphi (A)$. Uvažujeme pouze kartézské souřadnice; s označením $ x_4=ct$ se jedná o normu čtyřvektoru $ \vec{x}$, používanou ve speciální teorii relativity. Speciálně dokažte, že

a)
všechny transformace s touto vlastností tvoří grupu -- značíme ji {\bb G}$ _{\rm Lor}$ a nazývá se Lorentzova grupa (a její prvky jsou Lorentzovy transformace, o nichž ještě dost uslyšíte).
b)
matice Lorentzových transformací $ {A}\in${\bb G}$ _{\rm Lor}$ splňují podmínky $ \left\vert\mathop{\rm det}\nolimits {{A}}\right\vert =1,\ \left\vert A_{44}\right\vert \geq1$.
c)
speciální Lorentzovy transformace, tj. ty $ {A}\in${\bb G}$ _{\rm Lor}$, pro něž $ \mathop{\rm det}\nolimits {{A}}=1,\ A_{44}\geq1$, tvoří podgrupu {\bb G}$ _{\rm Lor}$; značíme ji {\bb G}$ _{\rm Lor}^+$.


Řešení: Zavedeme-li v  {\bb R}$ ^4$ standardní skalární součin $ (\vec{x}\cdot\vec{y})=\sum_{k=1}^4x_ky_k$ a označíme-li

$\displaystyle {I}_-=\left(\begin{array}{cccc}
-1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&1\end{array}\right),$

můžeme normu čtyřvektoru zapsat jako

$\displaystyle \varphi (\vec{x})=({I}_-\vec{x}\cdot \vec{x}).$

Požadavek invariance formy $ \varphi $ vzhledem k transformacím $ A$, tj. $ \varphi (\vec{x})=\varphi ({A}\vec{x})$, upravíme následujícím způsobem:

$\displaystyle \varphi (\vec{x})=
({I}_-\vec{x}\cdot \vec{x})=\varphi ({A}\vec{x})= ({I}_-{A}\vec{x}\cdot {A}\vec{x})=({A}^T{I}_-{A}\vec{x}\cdot \vec{x})\,.$

Odtud dostaneme nutnou a postačující podmínku na matici $ {A}$, aby patřila do {\bb G}$ _{\rm Lor}$:

$\displaystyle {A}\in${\bb G}$\displaystyle _{\rm Lor}\Leftrightarrow {A}^T{I}_-{A}={I}_-.$ (72)


a) To, že všechny Lorentzovy transformace tvoří grupu, plyne okamžitě z podmínky (72); předvedeme zde např. důkaz uzavřenosti vůči násobení:

$\displaystyle {A},{B}\in${\bb G}$\displaystyle _{\rm Lor}\Rightarrow ({AB})^T{I}_-{AB}={B}^T{A}^T{I}_-
{AB}={B}^T{I}_-{B}={I}_-.$

Jednotková matice $ \mathbbm{1}$ patří do {\bb G}$ _{\rm Lor}$ evidentně a ke každé $ {A}\in${\bb G}$ _{\rm Lor}$ je v  {\bb G}$ _{\rm Lor}$ také matice $ {A}^{-1}$ (jejíž existence je zaručena bodem b).


b) Z (72) plyne okamžitě $ \left\vert\mathop{\rm det}\nolimits {A}\right\vert =1$. Necháme nyní matici $ {A}$ působit na vektor $ \vec{x}=(0,0,0,1)^T$, pro který je $ \varphi (\vec{x})=1$. Vyjde $ {A}\vec{x}=(A_{14},A_{24},A_{34},A_{44})^T$, a z  $ \varphi (A\vec{x})=1$ pak plyne

$\displaystyle A_{44}^2=1+\sum_{k=1}^3A_{k4}^2\geq1\,,$

jak jsme chtěli.

Dokážeme ještě další fakt, který budeme potřebovat, a to uzavřenost {\bb G}$ _{\rm Lor}$ vůči transpozici matice. Nechť tedy $ {A}\in${\bb G}$ _{\rm Lor}$. Provedeme sekvenci jednoduchých úprav ( $ I_-^2=\mathbbm{1}$)

to $ \ds {A}^T{I}_-{A}={I}_-\Rightarrow {I}_-{A}^T{I}_-{AA}^{-1}=
{I}_-^2{A}^{-1}={A}^{-1}\Rightarrow \hfill$$\displaystyle \hss
$

to $ \hfill\ds \Rightarrow {I}_-{A}^T{I}_-={A}^{-1}
\Rightarrow {A}{I}_-{A}^T{I}_-=\mathbbm{1}\Rightarrow {A}{I}_-{A}^T={I}_-\,,$$\displaystyle \hss
$

tedy také $ {A}^T\in${\bb G}$ _{\rm Lor}$.


c) Zřejmě je $ \mathbbm{1}\in${\bb G}$ _{\rm Lor}^+$. Nechť $ {A},{B}\in${\bb G}$ _{\rm Lor}^+$. Platí

$\displaystyle (BA)_{44}=B_{44}A_{44}+\sum_{k=1}^3B_{4k}A_{k4}.$ (73)

Z bodu b) a faktu $ {B}^T\in${\bb G}$ _{\rm Lor}$ ale plyne

$\displaystyle A_{44}^2=1+\sum_{k=1}^3A_{k4}^2,\ \ B_{44}^2=1+\sum_{k=1}^3B_{4k}^2$

a Cauchy-Schwarzova nerovnost (důkaz viz v příkladu 5.4) nám říká

to $ \ds \left\vert\sum_{k=1}^3B_{4k}A_{k4}\right\vert \leq
\sqrt{\left(\sum_{k=1}^3A_{k4}^2\right)
\left(\sum_{k=1}^3B_{4k}^2\right)}=\hfill$$\displaystyle \hss
$

to $ \hfill\ds \sqrt{A_{44}^2-1}\sqrt{B_{44}^2-1}
\leq A_{44}B_{44}\,.$$\displaystyle \hss
$

Porovnáním s (73) dostaneme $ (BA)_{44}\geq0$, ale protože už víme, že obecně je $ \left\vert(BA)_{44}\right\vert \geq1$, je uzavřenost {\bb G}$ _{\rm Lor}^+$ vůči násobení matic dokázána (to, že determinant zůstává $ 1$, je ovšem triviální). Jednoduchou modifikací tohoto postupu rovněž dokážeme, že ke každé $ {A}\in${\bb G}$ _{\rm Lor}^+$ je také $ {A}^{-1}\in${\bb G}$ _{\rm Lor}^+$. Všimněme si, že {\bb G}$ _{\rm Lor}$ je tedy nesouvislá.

$ \ast$TB$ \ast$