Reprezentace

Úkol: Nalezněte alespoň dvě jednorozměrné a jednu dvourozměrnou reprezentaci grupy {\bb S}$ _3$, tedy grupy permutací tříprvkové množiny.


Řešení: Připomeňme definici reprezentace.

Reprezentace grupy {\bb G} je morfizmus $ \varphi $, který prvkům {\bb G} přiřazuje lineární zobrazení na nějakém vektorovém prostoru $ V$. Dimenzí reprezentace rozumíme dimenzi $ V$. Morfizmus je zobrazení, které zachovává grupovou operaci, tedy $ \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$ pro $ \forall a,b\in${\bb G} a dále $ \varphi (1)=\mathbbm{1}$. Jinak řečeno: $ n$-dimenzionální reprezentace grupy je takové přiřazení matice $ n\times n$ ke každému prvku grupy, při kterém násobení prvků grupy odpovídá násobení matic.

Dvě snadno odhalitelné jednorozměrné reprezentace obecné grupy {\bb S}$ _n$ jsou identita (každému prvku se přiřadí jednička) a znaménko permutace ( $ \pi\in${\bb S}$ _n$ se přiřadí $ \mathop{\rm zn}\nolimits (\pi)$).

Dvourozměrná reprezentace se také přímo nabízí: {\bb S}$ _3$ lze chápat jako symetrie rovnostranného trojúhelníka v  {\bb R}$ ^2$. Trojúhelník umístěme podle obrázku 16 a prvkům {\bb S}$ _3$ pak přiřadíme matice zobrazení, které odpovídají těmto symetriím

\begin{displaymath}
\begin{array}{rl}
\mbox{identita:} & \left(\begin{array}{...
...rac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right).
\end{array}
\end{displaymath}

Matice rotací v  {\bb R}$ ^2$ jsme spočítali v příkladu 10.1. Matice zrcadlení lze získat pohodlně ze zrcadlení podle osy $ y$ (první matice v řádku ,,zrcadlení'', označme ji $ Z_y$) jako $ A_{\alpha}Z_yA_{-\alpha}$, kde $ A_\alpha$ je matice rotace o $ \alpha$, a dosazujeme buď $ \alpha=\frac{2}{3}\pi$, nebo $ \alpha=-\frac{2}{3}\pi$ (tedy matice z řádku ,,rotace'').


Lze si samozřejmě položit otázku, jaké existují ještě další reprezentace grupy {\bb S}$ _3$. Abychom mohli tuto otázku zodpovědět, musíme se zmínit o ekvivalentních a reducibilních reprezentacích.

Pokud jsou $ r_1,r_2$ dvě reprezentace {\bb G} na $ V$, které jsou svázány podobnostní transformací

$\displaystyle r_1(g)=\varphi r_2(g)\varphi ^{-1}\,,\quad \forall g\in${\bb G}$\displaystyle $

pro nějaké pevné (bijektivní) zobrazení $ \varphi :V\to V$, mluvíme o ekvivalentních reprezentacích. Takové reprezentace se tedy liší jen tím, že ve $ V$ volíme různé báze.

Je-li $ r$ reprezentace na $ V$, a existuje-li $ \emptyset\ne V_1\subset
V$, $ V_1\ne V$, pro nějž platí $ \big(r(g)\big)\vec{v}_1\in V_1$ pro každý prvek grupy $ g$ a každý vektor $ \vec{v}_1\in V_1$, potom reprezentaci $ r$ nazveme reducibilní. Ostatní reprezentace nazýváme ireducibilní.

Lze ukázat, že pokud u reprezentace konečné (pozor pro takovou grupu $ \{\exp(tN)\}$, $ N$ nilpotentní to jiz neplatí!) grupy existuje výše definovaný invariantní podprostor $ V_1$, pak lze rozložit $ V$ na $ V_1\oplus V_2$, kde také $ \big(r(g)\big)\vec{v}_2\in V_2$ pro každý prvek grupy $ g$ a každý vektor $ \vec{v}_2\in V_2$. To znamená, že lze $ r$ ,,složit'' ze dvou reprezentací nižší dimenze, které působí na $ V_1$ a $ V_2$: to znamená, že lze zvolit bázi ve $ V$ tak, že všechny matice $ r(g)$, $ g\in${\bb G} budou blokově diagonální (a bloky budou mít stejnou velikost i polohu; odpovídají zobrazením $ V_1\to V_1$ a $ V_2\to V_2$, což jsou také reprezentace). Ireducibilní reprezentace jsou tedy jakési ,,základní kameny'' pro vytváření všech možných reprezentací dané grupy35.

Při zjišťování, zda jsme již nalezli všechny ireducibilní reprezentace, nám pomůže následující věta.

Nechť $ d_1,\ldots,d_n$ jsou dimenze (řády) všech neekvivalentních ireducibilních reprezentací grupy {\bb G} $ \char93 $   {\bb G} prvcích. Pak

$\displaystyle d_1^2+\ldots+d_n^2=\char93 ${\bb G}$\displaystyle \,.
$ (74)

Vidíme tedy, že díky $ 1+1+2^2=6$ jiné ireducibilní reprezentace {\bb S}$ _3$ než ty, co jsme již nalezli, neexistují. Je ale potřeba se přesvědčit, že jsou tyto nalezené reprezentace skutečně ireducibilní: dokážete vysvětlit proč?

$ \ast$KV$ \ast$

Obrázek: Symetrie rovnostranného trojúhelníka jako zobrazení {\bb R}$ ^2\to${\bb R}$ ^2$ tvoří reprezentaci {\bb S}$ _3$, grupy permutací množiny $ \{1,2,3\}$.
=.5mm \includegraphics[scale=0.35]{OBRAZKY/trojuh.eps} (-5,15) $ \left[\frac{1}{2}\sqrt{3},-\frac{1}{2}\right]$ (-89,15) $ \left[-\frac{1}{2}\sqrt{3},-\frac{1}{2}\right]$ (-26,48) $ \left[0,1\right]$