Dvouhladinový systém aneb Hrátky s maticí $ 2\times 2$

Úkol: Jsou zadány matice

$\displaystyle H_0=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \varepsilon _1 & 0\cr 0& \...
...t(\begin{array}{ccccccccccccc} 0&t\cr t&0\end{array}\right),\quad
H=H_0+V\,.
$

  1. Srovnejte spektra a vlastní vektory matic $ H_0$ a $ H$. U vlastních vektorů $ H$ předpokládejte $ \varepsilon _1=\varepsilon _2$.
  2. Nalezněte řešení rovnic

    $\displaystyle H_0\vert\psi\rangle =i\hbar \dot{\vert\psi\rangle }\,,\quad
 H\vert\psi\rangle =i\hbar \dot{\vert\psi\rangle }\,,$   kde $\displaystyle \vert\psi\rangle =\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \psi_1(\tau)\cr \psi_2(\tau)\end{array}\right)\ $ (75)

    s počáteční podmínkou v obou případech $ \vert\psi\rangle (0)=(1,0)^T$. Pro jednoduchost položte u druhé rovnice $ \varepsilon _1=\varepsilon _2=0$. Symbol $ \hbar$ označuje Planckovu konstantu.

  3. Vysvětlete, co znamenají fyzikálně výsledky předchozích dvou bodů. Hamiltoniány $ H_0$ a $ H$ mohou odpovídat například systému na obr. 17.

Poznámka k označení: časovou proměnnou budeme označovat $ \tau$, derivacemi v bodě 2 máme na mysli $ \dot{\vert\psi\rangle }=\mathop{{\rm d}\!}\nolimits \vert\psi\rangle /\mathop{{\rm d}\!}\nolimits \tau$.

Obrázek: Systémy odpovídající hamiltoniánům v příkladu 11.1. Připomínáme, že $ {t<0}$.
=0.9mm \includegraphics[scale=0.45]{OBRAZKY/dve_jamy.eps} (-95,25)$ H_0:$ (-45,25)$ H:$ (-95,11) $ \varepsilon _1,$ (-95,5) $ \vert\psi_L\rangle $ (-58,16) $ \varepsilon _2,$ (-58,10) $ \vert\psi_R\rangle $ (-4,16.5) $ \varepsilon -t,$ (-2,12.5) $ \vert\psi\rangle ={\phantom{-}1\choose -1}$ (-4,7.5) $ \varepsilon +t,$ (-2,3.5) $ \vert\psi\rangle ={1\choose 1}$ (-45,13) $ \varepsilon $ (-42,5) $ \vert\psi\rangle ={0\choose 1}$ (-56,0) $ \vert\psi\rangle ={1\choose 0}$


Řešení: 1. Matice $ H_0$ je v diagonálním tvaru, takže její vlastní čísla jsou přímo $ \varepsilon _1$, $ \varepsilon _2$ a odpovídající vlastní vektory jsou $ (1,0)^T$ a $ (0,1)^T$.

Vlastní čísla matice $ H$ jsou kořeny charakteristického polynomu $ \mathop{\rm det}\nolimits (H-\lambda\mathbbm{1})=\lambda^2-\lambda\mathop{\rm Tr}\nolimits H+\mathop{\rm det}\nolimits H$ (viz vztah 60 v příkladu 9.7 a dalších příkladech kapitoly 9)

$\displaystyle \lambda^2-\lambda(\varepsilon _1+\varepsilon _2)+\varepsilon _1\v...
..._2}{2}\pm
 \sqrt{\left(\frac{\varepsilon _1-\varepsilon _2}{2}\right)^2+t^2}\,.$ (76)

Pro $ \varepsilon _1=\varepsilon _2=\varepsilon $ mají vlastní čísla obzvláště jednoduchý tvar $ \lambda_{1,2}=\varepsilon \pm t$. V tomto případě se nám budou také snadno počítat vlastní vektory

$\displaystyle \lambda=\varepsilon +t\,:\ \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1\c...
...psilon -t\,:\ \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1\cr -1\end{array}\right)\,.
$


2. Řešení rovnice $ A\vec{v}=\dot{\vec{v}}$ s počáteční podmínkou $ \vec{v}(0)=\vec{v}_0$ je $ \vec{v}(\tau)=\exp(A\tau)\vec{v}_0$. Formálně je tento vzorec stejný jako u skalárních funkcí (je-li $ \alpha y=y'$, $ y(0)=y_0$, pak $ y(\tau)=y_0\mathop{\rm e}^{\alpha \tau}\nolimits $).

Spočítáme proto exponenciály obou matic. Funkce z diagonálních matic se počítají prostě tak, že funkci použijeme přímo na diagonální elementy, takže

$\displaystyle \exp\left(\frac{1}{{i}\hbar}\tau H_0\right)=
\left(\begin{array}...
...its & 0\cr 0&\mathop{\rm e}^{-{i}\omega_2\tau}\nolimits \end{array}\right)\,,
$

kde jsme zavedli označení $ \varepsilon _{1,2}=\hbar\omega_{1,2}$, které se těší mezi fyziky jisté oblibě.

U matice $ H$ budeme mít trochu více práce, ale díky výsledkům bodu 1 jí také nebude mnoho. Víme, že pro $ \varepsilon _1=\varepsilon _2=\varepsilon $ je

$\displaystyle H=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \varepsilon & t\cr t & \vare...
...\right)\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1 & 1\cr 1& -1\end{array}\right)\,,
$

a proto (při označení $ \varepsilon =\hbar\omega$, $ t=\hbar\omega_t$, $ \omega_\pm=\omega\pm\omega_t$)

   to $ \ds
\exp({\ts \frac{1}{{i}\hbar}\tau H})=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc...
...ht)
\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1 & 1\cr 1& -1\end{array}\right)=\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \hfill\ds
\mathop{\rm e}^{-{i}\omega\tau}\nolimits
\left(\begin{array}{ccc...
...\sin\omega_t\tau\cr
-{i}\sin\omega_t\tau&\cos\omega_t\tau\end{array}\right)\,.$$\displaystyle \hss
$

Řešení rovnic 75 s počáteční podmínkou $ \vert\psi\rangle =(1,0)^T$ je potom (s ohledem na vzorec $ \vec{v}(\tau)=\exp(A\tau)\vec{v}_0$) vždy první sloupec exponenciály příslušné matice.

$\displaystyle H_0:\, \vert\psi\rangle (\tau)=\mathop{\rm e}^{-{i}\omega_1\tau}\...
...ay}{ccccccccccccc} \cos\omega_t\tau\cr -{i}\sin\omega_t\tau\end{array}\right)
$


3. Ze stacionární (bezčasové) Schrödingerovy rovnice

$\displaystyle H\vert\psi\rangle =E\vert\psi\rangle
$

plyne, že vlastní čísla hamiltoniánu udávají energie (spektrum), které můžeme v systému popsaném tímto hamiltoniánem naměřit. Podobně vlastní vektory udávají stavy, které těmto energiím odpovídají.

Hamiltoniánem $ H_0$ můžeme tedy popsat například dvě oddělené potenciálové jámy, které spolu nekomunikují a ve kterých je vždy jen jedna dostupná energetická hladina. Částice se buďto nachází v jámě vlevo ( $ \vert\psi_L\rangle =(1,0)^T$) a má energii $ \varepsilon _1$, nebo v jámě vpravo ( $ \vert\psi_R\rangle =(0,1)^T$) a pak má energii $ \varepsilon _2$.

Pokud nás zajímá časový vývoj stavu $ \vert\psi\rangle (\tau)=(\psi_1(\tau),\psi_2(\tau))^T$, kdy se částice nachází v čase $ \tau=0$ v jámě vlevo, řešíme časovou Schrödingerovu rovnici (75). V bodě 2 jsme to učinili a vidíme, že při této počáteční podmínce je pravděpodobnost výskytu částice v jámě vlevo, resp. vpravo rovna $ \vert\psi_1(\tau)\vert^2=1$ a $ \vert\psi_2(\tau)\vert^2=0$, tedy v čase konstantní.

Částice může být také ve stavu, který je lineární kombinací $ \alpha\vert\psi_R\rangle +\beta\vert\psi_L\rangle $, $ \alpha,\beta\in${\bb C}, přičemž $ \vert\alpha\vert^2+\vert\beta\vert^2=1$, aby byl tento stav normován na jedničku. I v tomto případě ale zůstane pravděpodobnost výskytu částice v jámě vlevo $ \vert\psi_1(\tau)\vert^2$, resp. vpravo $ \vert\psi_2(\tau)\vert^2$ v čase konstantní (totiž $ \vert\alpha\vert^2$, resp. $ \vert\beta\vert^2$).

Systém popsaný hamiltoniánem $ H$ odpovídá například dvěma jámám, u nichž je nenulová pravděpodobnost, že částice v jedné jámě přeskočí do druhé jámy (tunelový jev). Vidíme, že pro $ \varepsilon _1=\varepsilon _2$ snímá porucha36 $ V$ degeneraci, tedy, že dvojnásobně degenerovaná hladina $ E=\varepsilon $ se rozštěpí na dvě hladiny37 $ \varepsilon \pm t$. Příslušné vlastní stavy jsou symetrická vlnová funkce $ (1,1)^T$ pro $ \varepsilon +t$ a antisymetrická vlnová funkce $ (1,-1)^T$ pro $ \varepsilon -t$. Jelikož je u reálných systémů $ t<0$, je první zmíněná vlnová funkce základní stav systému (viz obrázek 17). U dvouatomové molekuly by to byl vazebný orbital (zatímco $ (1,-1)^T$ by odpovídala antivazebnému orbitalu).

Co se týče časového vývoje, vidíme, že když částici vhodíme do jámy vlevo, $ \vert\psi\rangle (0)=(1,0)^T$, bude částice ,,přeskakovat'' mezi jámami, neboť $ \vert\psi_1(\tau)\vert^2=\cos^2\omega_t\tau$ a $ \vert\psi_2(\tau)\vert^2=\sin^2\omega_t\tau$.

Na závěr učiňme ještě dvě poznámky. Rovnice

$\displaystyle \exp(H\tau/{i}\hbar)\vert\psi(0)\rangle =\vert\psi(\tau)\rangle $

nás opravňuje nazývat $ U(\tau)=\exp(H\tau/{i}\hbar)$ operátorem časového vývoje nebo také evolučním operátorem. Díky hermitovskosti $ H$ je tento operátor automaticky unitární. Klidně se o tom přesvědčte.

Konečně se možná čtenář ptá, jak souvisí matice se ,,skutečnou kvantovou mechanikou'', v níž je stacionární Schrödingerova rovnice (pro jednorozměrný systém)

$\displaystyle \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathop{{\rm d}\!}\nolimits \,^2}{\mathop{{\rm d}\!}\nolimits x^2}+V(x)\right]\psi(x)=E\psi(x)\,.
$

Inu, $ \psi(x)$ vždy volíme z nějakého Hilbertova prostoru, což je obvykle nekonečnědimenzionální (úplný) vektorový prostor se skalárním součinem. Může se ale také stát, že je dimenze tohoto prostoru konečná (a nebo učiníme nějakou fyzikální aproximaci a omezíme se na podprostor konečné dimenze). Pak si ale lze v tomto prostoru zvolit vhodnou bázi a vyjádřit operátor v hranatých závorkách pomocí matice.

$ \ast$KV$ \ast$