Soustava diferenciálních rovnic s rezonancí

Úkol: Nalezněte obecné řešení následující soustavy rovnic pro $ y_i=y_i(x),\ i=1,2$

\begin{displaymath}\begin{array}{rcl}
 y_1' &=& 4y_1 -y_2 \\ 
 y_2' &=& y_1 +2y_2
 \end{array}\end{displaymath} (77)

s počáteční podmínkou $ \vec{y}(0) =(c_1, c_2)^T$.


Řešení: Nejdříve zavedeme následující označení

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 4 & -1 \cr 1 & 2\end{array}\...
...d
\vec{y}=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} y_1\cr y_2\end{array}\right)\,.
$

V tomto označení můžeme soustavu zapsat ve tvaru $ \vec{y}\,'=A\vec{y}$. Matice $ A$ je matice s konstantními koeficienty, a proto je řešení soustavy (bez počáteční podmínky) jakýkoliv vektor tvaru $ \exp(Ax)\vec{v}$. Pokud máme ještě zadanou nějakou počáteční podmínku typu $ \vec{y}\left( 0\right)=\vec{c}$, pak je řešením soustavy vektor $ \vec{y}=\exp \left(Ax \right) \vec{c}$, neboli vektor, který získáme aplikací matice $ \exp {Ax}$ na vektor počátečních podmínek $ \vec{c}$. Asi nám tedy nezbude než najít matici $ \exp(Ax)$.

Jak na to? Matici $ A$ převedeme na Jordanův tvar $ J_A$, a využijeme toho, že platí $ \exp(Ax)=C \exp\left(J_Ax \right) C^{-1}$, kde $ C$ je matice, která transformuje složky vektoru z Jordanovy do kanonické báze. Exponenciálu matice $ J_A$ už spočteme snadněji (viz vztah 78). Najděme tedy nejprve Jordanův tvar matice $ A$. Vlastní čísla matice $ A$ získáme jako kořeny charakteristické rovnice

\begin{displaymath}
\mathop{\rm det}\nolimits (A- \lambda \mathbbm{1}) = \matho...
...- \lambda
\end{array}\right) = \left( \lambda - 3 \right)^2.
\end{displaymath}

Matice $ A$ má dvojnásobné vlastní číslo $ \lambda_{1,2}=3$. Protože

$\displaystyle \dim$Ker $\displaystyle {}\left( A - 3\mathbbm{1}\right)= 2- h\left(\begin{array}{cc} 1
& -1 \\ 1 & -1 \end{array}\right) =1\,,
$

existuje jen jeden38 vlastní vektor $ A$. Bázi {\bb R}$ ^2$ tedy z vlastních vektorů $ A$ neposkládáme, a $ A$ tudíž není diagonalizovatelná. Musí pak ale nutně existovat řetězec délky dva $ \vec{a}\to\vec{b}\to 0$, neboli $ (A-3\mathbbm{1})\vec{a}=\vec{b}$, $ (A-3\mathbbm{1})\vec{b}=0$ a $ \vec{a},\vec{b}$ pak tvoří bázi {\bb R}$ ^2$. Pro kontrolu se můžeme přesvědčit, že $ (A-3\mathbbm{1})^2$ je nulová matice. Jordanův tvar tedy bude

$\displaystyle J_A=
\left(\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{array}\right).
$

Jako vektor z  Ker $ {}(A-3\mathbbm{1})^2$ zvolme například $ \vec{a}=(1,0)^T$ a z toho dostaneme $ \vec{b} = \left( A- 3\mathbbm{1}\right)\vec{a} = (1,1)^T$. Matice $ C$, která transformuje $ A$ na Jordanův tvar má ve sloupcích vektory $ \vec{b}, \vec{a}$ (v tomto pořadí), a tedy podle Čihákova pravidla (38 v příkladu 6.5)

$\displaystyle C=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1 & 1\cr 1 & 0\end{array}\ri...
...d C^{-1}=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 0 & 1\cr 1& -1\end{array}\right).
$

Přesvědčte se, že skutečně $ J_A=C^{-1}A C$.

Exponenciála potom musí být

   to $ \ds \exp (Ax) = \exp \left(CJ_AxC^{-1} \right)= C \exp \left( J_Ax \right) C^{-1}= \hfill$$\displaystyle \hss
$

$\displaystyle \mbox{\hbox to\textwidth{$\hfill\ds 
 =C \exp \left[ \left(\begin...
...{array}{cc} 0 & 1 \\  0 & 0 \end{array}
 \right)x \right]C^{-1}\,.\hskip.7cm$}}$$\displaystyle \hss
$ (78)

Zde můžeme využít pravidla o exponenciále součtu $ \exp(A+B)=\exp A \exp B $, protože obě matice v exponenciále spolu komutují (první matice je násobek $ \mathbbm{1}$). To nám umožní upravit výšeuvedenou rovnici na

$\displaystyle \exp (Ax) = C \exp \left[ \left( \begin{array}{cc} 3 & 0 \\ 0 &
...
...left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\ 0 & 0\end{array} \right)x \right] C^{-1}\,,
$

kde snadno vypočteme obě požadované exponenciály. Je totiž

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccccccccccccc}
\exp \left(\begin{array}{ccc...
...{ccccccccccccc} 1 & x \cr 0 & 1\end{array}\right).\end{array}
\end{displaymath}

Konečně pro exponenciálu $ A$ dostaneme

$\displaystyle \exp (Ax)= \left( \begin{array}{cc} e^{3x} + xe^{3x} & -xe^{3x} \\
xe^{3x} & e^{3x}-xe^{3x}\end{array} \right).
$

Řešením rovnice 78 pak je $ \vec{y}=\exp \left(Ax \right) \vec{c}$, kde $ \vec{c}$ je vektor počátečních podmínek.


Zdá se, že tímto jsme s řešením skončili. Nejvíce času nám při řešení úlohy zabral výpočet exponenciály matice $ A$. Položme si otázku, zda bychom se nemohli bez exponenciály matice $ A$ obejít.

Nejdříve prozkoumáme, jak matice $ \exp(Ax)$ působí na vektory Jordanovy báze $ \vec{a}$ a $ \vec{b}$.

\begin{displaymath}
\exp \left(Ax \right) \vec{a}=\left(
\begin{array}{cc} e^{...
...}{ccccccccccccc} e^{3x}+ xe^{3x}\cr xe^{3x}\end{array}\right)
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\exp \left(Ax \right) \vec{b}=\left(
\begin{array}{cc} e^{...
...egin{array}{ccccccccccccc} e^{3x}\cr e^{3x}\end{array}\right)
\end{displaymath}

Na první pohled se nestalo nic zajímavého. Při podrobnějším zkoumání si však uvědomíme, že
$\displaystyle \exp \left(Ax \right) \vec{a}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{3x}\vec{a}+xe^{3x}\vec{b}$  
$\displaystyle \exp \left(Ax \right) \vec{b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{3x}\vec{b}.$  

Skutečně, nejde o náhodu. Vektor $ \vec{b}$ je totiž vlastní vektor matice $ A$ příslušející vlastnímu číslu $ \lambda=3$. Jinak: platí $ A\vec{b}=3\vec{b}$. Proto

   to $ \ds \exp \left(Ax \right) \vec{b}=\left(\sum\limits_{n=0}^\infty
\frac{(Ax)^n...
...vec{b}= \left(\sum\limits_{n=0}^\infty
\frac{x^nA^n \vec{b}}{n!}\right)=\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \hfill\ds
=\left(\sum\limits_{n=0}^\infty
\frac{x^n3^n \vec{b}}{n!}\right)
...
...eft(\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(3x)^n}{n!}\right)\vec{b}=
e^{3x}\vec{b}\,.$$\displaystyle \hss
$

Toto neznamená nic jiného, než že pokud je $ \vec{u}$ vlastní vektor matice $ A$ příslušející vlastnímu číslu $ \lambda$, pak je $ \vec{u}$ také vlastní vektor matice $ \exp A$, příslušející vlastnímu číslu $ e^\lambda$.

Nyní se zamyslíme nad vektorem $ \vec{a}$. Připomeňme si, že vektor $ \vec{a}$ byl zvolen z  Ker $ {}(A-3\mathbbm{1})^2$, neboli $ \left( A-
3\mathbbm{1}\right)^2\vec{a}=0$. Navíc $ \vec{b}=\left( A- 3\mathbbm{1}\right)\vec{a}$. Proto (u $ \ast$ využíváme opět komutativitu)

   to $ \ds
\exp \left(Ax \right) \vec{a}=\exp \big[ (A -3\mathbbm{1}) x
+3x\mathbb...
...st}{=}
\exp \big[ (A -3\mathbbm{1}) x \big] \exp (3x\mathbbm{1})\vec{a}=\hfill$$\displaystyle \hss
$

$\displaystyle =\exp \big[ (A -3\mathbbm{1}) x \big] e^{3x}\vec{a}
=e^{3x}\left...
...m\limits_{n=0}^\infty
\frac{\big[(A-3\mathbbm{1})x\big]^n}{n!}\right)\vec{a}
$

   to $ \hfill\ds
=e^{3x}\left( \mathbbm{1}\vec{a} + (A-3\mathbbm{1})x\vec{a} + \sum\limits_{n=2}^\infty
\frac{x^n(A-3\mathbbm{1})^n\vec{a}}{n!} \right)\,.$$\displaystyle \hss
$

V poslední sumě jsou ale už jen nulové matice. Výsledek působení exponenciály na vektor $ \vec{a}$ je tedy

$\displaystyle \exp \left(Ax \right) \vec{a} =e^{3x}\vec{a}+xe^{3x}\vec{b}\,.
$

Protože vektory $ \vec{a}$ a $ \vec{b}$ tvoří bázi prostoru {\bb R}$ ^2$, můžeme každou počáteční podmínku zapsat jako $ \vec{c}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}$, kde $ \alpha,\beta\in$   {\bb R}. Na takto rozloženou počáteční podmínku pak působí $ \exp(Ax)$ následovně

$\displaystyle \exp\left( Ax \right)\vec{c}=\exp \left( Ax
\right)\left(\alpha\...
... \alpha\exp \left(
Ax \right)\vec{a} + \beta\exp \left( Ax \right)\vec{b}\,.
$

Chování vektrorů $ \vec{a}$ a $ \vec{b}$ při působení matice $ \exp(Ax)$ jsme již vyřešili, proto můžeme pokračovat a dostaneme řešení diferenciální rovnice jako

$\displaystyle \vec{y}\left( x \right)= \exp \left( Ax\right)\vec{c}=
 \alpha \left(e^{3x}\vec{a} + x e^{3x}\vec{b} \right)+
 \beta \left(e^{3x}\vec{b} \right)\,.$ (79)

Pro zjištování chování vektorů $ \vec{a}$ a $ \vec{b}$ při působení $ \exp Ax$ jsme vůbec nemuseli znát exponenciálu matice $ A$, stačila nám pouze důkladná znalost Jordanova tvaru a Joradnovy báze matice $ A$. Pokud nechceme počítat exponenciálu $ A$, vystačíme si s tímto jednodušším postupem.

$ \ast$VP$ \ast$