Diferenciální rovnice s pravou stranou

Úkol: Nalezněte obecné řešení soustavy

\begin{displaymath}\begin{array}{rcl}
 \dot y_1 (t) &=& 4y_1-y_2+ e^{3t}(t+\sin t)\\ 
 \dot y_2 (t) &=& y_1+2y_2+t e^{3t} \cos t\,.
 \end{array}\end{displaymath} (80)


Řešení: Pokud označíme

$\displaystyle A =\left( \begin{array}{rrr}
4 & -1 \\
1 & 2
\end{array}\righ...
...right),\qquad
\vec{y} =\left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2
\end{array}\right),$

lze rovnici zapsat zkráceně

$\displaystyle \dot{\vec{y}}=A \vec{y}+\vec{f}\,(t)\,.$

Jedná se tedy o nehomogenní soustavu lineárních diferenciálních rovnic. Při jejím řešení budeme postupovat následovně: nejprve (1) najdeme řešení homogenní soustavy a pak (2) metodou variace konstant najdeme obecné řešení nehomogenní soustavy.


1. Homogenní soustavu $ A\vec{y}=\dot{\kern-2pt\vec{y}} $ jsme již vyřešili v příkladu 11.2. Zopakujme výsledek: v  {\bb R}$ ^2$ jsme nalezli (Jordanovu) bázi

$\displaystyle \vec{a}=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1\cr 0\end{array}\righ...
...\qquad \vec{b}=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1\cr 1\end{array}\right)\,.
$

Protože každý vektor počátečních podmínek $ \vec{y}_0$ je možné rozložit do této báze (o které víme, jak se chová při zobrazení $ \exp (tA)$), můžeme každé řešení homogenní soustavy zapsat jako lineární kombinaci $ \exp
(tA)\vec{a}$ a $ \exp (tA)\vec{b}$, neboli

$\displaystyle \vec{y}_0=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}\,\quad \Rightarrow \quad
\vec{y} (t)=\alpha(e^{3t}\vec{a} + te^{3t} \vec{b})+ \beta
e^{3t}\vec{b}\,,$

kde $ \alpha$, $ \beta$ jsou reálné konstanty.


2. Nyní budeme konstruovat řešení nehomogenní soustavy metodou variace konstant. Hledejme tedy řešení ve tvaru

$\displaystyle \vec{y}(t)=\alpha (t) (e^{3t}\vec{a} + te^{3t} \vec{b})+ \beta(t)
 e^{3t} \vec{b}\,,$ (81)

kde $ \alpha (t)$ a $ \beta (t)$ jsou funkce. Rozložme ještě pravou stranu $ \vec{f}\, (t)$ do Jordanovy báze $ \vec{b}$ a $ \vec{a}$. Chceme tedy, aby platilo

$\displaystyle \gamma \vec{a} + \delta \vec{b} = \gamma
\left( \begin{array}{cc...
...y}{ccc}
e^{3t}(t+\sin t)\\
te^{3t}\cos t
\end{array}\right)=\vec{f}\,(t)\,,$

odkud $ \delta = te^{3t}\cos t$, $ \gamma = e^{3t}(t+\sin t - t\cos t)$. Dosadíme-li rovnici (81) do rovnice ze zadání (80) a uvědomíme-li si, že (81) řeší homogenní rovnici $ \forall t\in${\bb R}, dostaneme

$\displaystyle \dot \alpha (t) (e^{3t}\vec{a} + te^{3t}\vec{b})+\dot \beta (t)
e^{3t} \vec{b} = \vec{f}\, (t)\,.$

Využijme nyní toho, že jsme $ \vec{f} (t)$ rozložili do Jordanovy báze a pišme

$\displaystyle \dot \alpha (t) (e^{3t}\vec{a} + te^{3t}\vec{b})+\dot \beta (t)
e^{3t} \vec{b} = \gamma \vec{a} + \delta \vec{b}\,,$

neboli ve složkách

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccccccccccc}
\hfill\dot \alpha(t) e^{3t}&=...
...t \alpha(t) te^{3t}+\dot\beta(t)e^{3t}&=&\delta\,.\end{array}
\end{displaymath}

Integrováním první rovnice určíme $ \alpha (t)$
$\displaystyle \dot \alpha (t) e^{3t}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{3t} (t+\sin t - t\cos t)$  
$\displaystyle \alpha (t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int (t+\sin t - t\cos t)\mathop{{\rm d}\!}\nolimits t$  
$\displaystyle \alpha (t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{t^2}{2}-2\cos t-t\sin t + C_1\,.$  

Podobně dojdeme k $ \beta (t)$
$\displaystyle \dot \beta (t) e^{3t}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle te^{3t}\cos t - \dot \alpha (t) te^{3t}$  
$\displaystyle \dot \beta (t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle t \cos t - t(t+\sin t-t\cos t)$  
$\displaystyle \beta (t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int(t\cos t- t^2-t\sin t+ t^2\cos t)\mathop{{\rm d}\!}\nolimits t$  
$\displaystyle \beta (t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{t^3}{3}+\cos t-3\sin t+ t\sin t+3t\cos t+t^2\sin
t+C_2\,.$  

Takto spočtené koeficienty dosadíme zpět do (81) a dostáváme

to $ \ds \vec{y} (t)= e^{3t}\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \alpha(1+t)+\beta\cr \alpha t+\beta\end{array}\right)=\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \hfill\ds =\left( \begin{array}{ccc}
e^{3t}\cdot(C_1+C_2+C_1 t+\frac{1}{2}t^2...
...C_2 +C_1 t+\frac{1}{6}t^3+\cos t-3\sin t+t\cos t+t \sin t)
\end{array}\right),$$\displaystyle \hss
$

kde $ C_1$, $ C_2$ jsou reálné konstanty. Vektor $ \vec{y} (t)$ je obecným řešením nehomogenní soustavy 80. (V [PLA], str. 199 je metoda variace konstant popsána trochu jiným, avšak ekvivalentním zpusobem.)

$ \ast$VP,AK$ \ast$