Komplexně půvabná diferenciální rovnice

Úkol: Nalezněte řešení $ y_i=y_i(t),\ i=1,2$ soustavy rovnic

$\displaystyle \dot{y_1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y_1 +2y_2$  
$\displaystyle \dot{y_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -y_1 +y_2$  

s počáteční podmínkou $ \vec{y}(0) =(c_1, c_2)^T$.


Řešení: Jako obvykle zavedeme označení

$\displaystyle A=\left(
\begin{array}{rr}
1 & \ 2 \\
-1 & 1
\end{array}
\r...
...), \quad
\vec{y}=\left(
\begin{array}{c}
y_1 \\ y_2
\end{array}
\right).
$

Zkusme nejdříve najít řešení podle postupu zmíněného v  příkladu 11.2, tedy nebudeme explicitně hledat $ \exp (At)$. Protože nás však počítání exponenciál matic baví, najdeme posléze řešení i obvyklým způsobem.

Vypočteme vlastní čísla matice $ A$

$\displaystyle 0=\mathop{\rm det}\nolimits \left( A-\lambda \mathbbm{1}\right)= ...
...\lambda & 2 \\ -1 & 1-\lambda \end{array}\right)= \lambda^2 -
2\lambda +3\,.
$

Charakteristická rovnice má komplexní kořeny $ \lambda_1=1-i\sqrt{2}$, $ \lambda_2=1+i\sqrt{2}$. Připomeňme si, že u reálných matic se komplexní vlastní čísla vždy vyskytují v komplexně sdružených párech. To nám nakonec umožní vyjádřit $ \exp (At)$ pomocí reálných výrazů se siny a kosiny místo komplexní exponenciály.

Vlastní vektor příslušející vlastnímu číslu $ \lambda_1$ je například vektor $ \vec{u}=(i\sqrt{2},1)^T$, vlastní vektor příslušející vlastnímu číslu $ \lambda_2$ je vektor komplexně sdružený k vektoru $ \vec{u}$, neboli $ \vec{v}=(-i\sqrt{2},1)^T$. Podle toho, co víme z příkladu 11.2, bude účinek exponenciály na vlastní vektory $ \vec{u}$, $ \vec{v}$ následující

$\displaystyle \exp \left(At \right) \vec{u}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathop{\rm e}^{\left(1-i\sqrt{2}\right)t}\nolimits \vec{u}$  
$\displaystyle \exp \left(At \right) \vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathop{\rm e}^{\left(1+i\sqrt{2}\right)t}\nolimits \vec{v}\,.$  

Necht je dána počáteční podmínka $ \vec{y}(0)=\vec{c}$. Tento vektor rozložíme do Jordanovy báze matice $ A$, tzn. najdeme čísla $ \alpha,\beta\in$   {\bb C} taková, že platí $ \vec{c}=
\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}$. Řešením rovnice je $ \exp \left(
At\right) \vec{c}$, a to můžeme napsat jako

   to $ \ds
\exp \left( At \right) \vec{c}=\exp \left( At \right) \left(
\alpha\vec{u} + \beta \vec{v} \right)=\hfill$$\displaystyle \hss
$

$\displaystyle \mbox{\hbox to\textwidth{$\hfill\ds =\alpha
 \mathop{\rm e}^{\lef...
...eft(\begin{array}{ccccccccccccc} -i\sqrt{2}\cr 1\end{array}\right),\hskip2cm$}}$$\displaystyle \hss
$ (82)

čímž jsme našli řešení zadané diferenciální rovnice.


Leckomu se však komplexní čísla nelíbí, a proto ještě zkusíme zapsat výsledek bez užití komplexních čísel. Vzhledem k tomu, že soustava neobsahovala komplexní čísla, máme -- pokud si zvolíme reálné počáteční podmínky $ \vec{c}$ -- na reálné řešení také opravdu nárok. Z reálnosti $ \vec{c}$ (tedy $ \vec{c}^*=\vec{c}$) plyne $ \beta=\alpha^*$; všimněte si také, že takto máme ve volbě $ \vec{c}$ jen dva reálné stupně volnosti a ne čtyři jako v případě komplexního $ \vec{c}$. Dále si připomeneme dobře známé vztahy

$\displaystyle 2 \cos x=\mathop{\rm e}^{ix}\nolimits +\mathop{\rm e}^{-ix}\nolim...
...qquad
2i\sin x=\mathop{\rm e}^{ix}\nolimits -\mathop{\rm e}^{-ix}\nolimits \,.$

Přímočarými algebraickými úpravami pak dostaneme z (82)

$\displaystyle \vec{y}\left( t\right)=
2\mathop{\rm Re}\nolimits \alpha \left(\...
...s(t\sqrt{2})\cr\sin(t\sqrt{2})\end{array}\right)\mathop{\rm e}^{t}\nolimits \,.$

Pro zadanou počáteční podmínku $ \vec{c}$ získáme $ \alpha$ řešením soustavy dvou rovnic o dvou neznámých $ \vec{c}=
\alpha \vec{u} + \alpha^\ast \vec{v}$.


Úlohu jsme již vyřešili a jako početní cvičení ještě můžeme zkusit explicitně nalézt exponenciálu matice $ A$. Vše potřebné je už připraveno, a proto budeme postupovat rychleji. Matici přechodu $ C$ najdeme tak, že do jejích sloupců napíšeme vlastní vektory matice $ A$. Matice $ C$ a její inverze $ C^{-1}$ (nalezená pomocí Čihákova pravidla 38 z příkladu 6.5) je

$\displaystyle C= \left( \begin{array}{cc} i\sqrt{2} & -i\sqrt{2} \\ 1 &
1\end{...
...4}i & \frac {1}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{4}i & \frac
{1}{2} \end{array}\right).
$

Exponenciálu počítáme obvyklým způsobem

   to $ \ds
\exp (tA)=\exp \left(
CtJ_AC^{-1}\right)=C\exp\left(tJ_A\right)C^{-1}=\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \ds =C\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \mathop{\rm e}^{\left(1-i\sqrt{2}\rig...
...hop{\rm e}^{\left(1+i\sqrt{2}\right)t}\nolimits \end{array}\right)C^{-1}=\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \hfill\ds =\left(\begin{array}{ccccccccccccc}
\frac {1}{2}
\left(\mathop{\r...
... +\mathop{\rm e}^{\left(1-i\sqrt{2}\right)t}\nolimits \right)\end{array}\right)$$\displaystyle \hss
$

a po úpravě použitím výše zmíněných vzorců pro sinus a kosinus dostaneme elegantnější vyjádření

$\displaystyle \exp (tA)= \left(\begin{array}{ccccccccccccc} \cos( t \sqrt{2})\m...
...nolimits & \cos( t \sqrt{2})\mathop{\rm e}^{t}\nolimits \,.\end{array}\right)
$

Řešení diferenciální rovnice je $ \exp (tA)$ aplikované na vektor počátečních podmínek $ \vec{c}$, aneb

\begin{displaymath}
\vec{y}\left(t \right)= \exp \left({tA} \right)\vec{c}= \le...
...{2}\right)\mathop{\rm e}^{t}\nolimits
\end{array}
\right).
\end{displaymath}

Můžeme zkontrolovat, že jsme dospěli ke stejnému výsledku.

$ \ast$VP$ \ast$