Lineární nezávislost řešení soustavy diferenciálních rovnic

Úkol: Nechť vektorové funkce

$\displaystyle \vec{x}_1(t),\dots,\vec{x}_n(t)$ (83)

řeší soustavu $ n$ lineárních diferenciálních rovnic $ \vec{x}'(t)={A}\vec{x}(t)$. Ukažte, že k tomu, aby vektory (83) byly lineárně nezávislé pro všechny časy $ t$, je nutné a stačí, aby byly lineárně nezávislé pro $ t=0$.


Řešení: Sloupcové vektory (83) naskládáme do čtvercové matice $ {X}(t)$, jejíž determinant označíme $ W(t)$ (tzv. Wronského determinant). Chceme tedy dokázat

$\displaystyle W(0)\neq0\Longleftrightarrow \left(W(t)\neq0\ \ \forall t\right)\,.$

Spočteme časovou derivaci $ W'(t)$. Determinant zapíšeme jako sumu (přes $ \pi$) součinů typu $ a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\cdots a_{n\pi(n)}$. Tyto součiny se derivují podle známého pravidla

to $ \ds
(a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\cdots a_{n\pi(n)})'=
a_{1\pi(1)}'a_{2\pi(2)}\cdots a_{n\pi(n)}+\ldots\hfill$$\displaystyle \hss
$

to $ \hfill\ds \ldots+
a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\cdots a_{n\pi(n)}'\,.$$\displaystyle \hss
$

Z každého zderivovaného součinu nyní vezmeme člen, v němž se derivovalo $ a_{1\pi(1)}$ ($ \pi$ je samozřejmě v každém členu jiné). Všech těchto $ n!$ výrazů dá dohromady determinant matice $ A$, v níž jsou všechny elementy v prvním řádku zderivovány. Pokud označíme $ k$-tý řádek $ \vec{r}_k$, znamená to tedy

$\displaystyle W'(t)=\sum_{k=1}^n\mathop{\rm det}\nolimits
\left(
\begin{arra...
...vec{r}_j(t)\\
\vec{r}_{k+1}(t)\\
\vdots\\
\vec{r}_n(t)\end{array}\right).$

Determinant v poslední dvojité sumě je ale $ A_{kj}\delta_{kj}W(t)$ (proč je determinant s $ k\not=j$ nula?), což nám dá

$\displaystyle W'(t)=\sum_{k=1}^nA_{kk}W(t)=\mathop{\rm Tr}\nolimits {{A}}\cdot W(t)\,.$

Dostáváme jednoduchou diferenciální rovnici pro $ W(t)$, jejímž řešením je

$\displaystyle W(t)=W(0)\exp(t\mathop{\rm Tr}\nolimits {{A}})\,.$

Odtud již snad je platnost našeho tvrzení evidentní.

$ \ast$TB$ \ast$