Nevelké grupy

Úkol: Nalezněte všechny grupy s nejvýše 7 prvky.


Řešení: Jednoprvková grupa je jediná, triviální. V dvojprvkové grupě máme kromě neutrálního prvku $ 1$ (jehož součiny s libovolnými prvky jsou dány definicí grupy $ 1k=k=k1$) další prvek, který značme $ (-1)$, a $ (-1)(-1)$ se nemůže rovnat $ (-1)$, jelikož ,,krácením'' zprava (které je v grupě povoleno díky existenci inverzního prvku) bychom dokázali $ (-1)=1$. Existuje tedy jen jedna dvojprvková grupa, {\bb Z}$ _2$, kterou si lze představit (reprezentovat) jako čísla $ \{\pm 1\}$ s násobením, nebo třeba souměrnost podle jedné přímky či roviny.

Trojprvková grupa obsahuje neutrální prvek, který značme pro změnu 0, a další dva prvky $ 1,2$. Značme operaci ,,+''. Analogicky jako výše, $ 1+2$ se nesmí rovnat ani $ 1$, ani $ 2$ (krácení zprava či zleva), tudíž $ 1+2=0$. Podobně $ 1+1$ už nemůže být ani 0 (což by implikovalo $ 1=2$), ani $ 1$ (což by implikovalo $ 0=1$), čímž docházíme k překvapivému závěru $ 1+1=2$. Podobně lze ukázat $ 2+2=1$ a $ 2+1=0$ a máme tedy grupu {\bb Z}$ _3$ jako jedinou tříprvkovou grupu.

Dále se nám bude hodit, že je-li {\bb H} podgrupou {\bb G}, pak řád {\bb H} dělí řád {\bb G}. Důkaz naleznete v příkladu 2.3.

Čtyřprvková grupa obsahuje prvky $ 1,a,b,c$. Nyní může být $ a^2$ rovno buď $ 1$, nebo jednomu z prvků $ b,c$, řekněme $ b$ (volba $ c$ odpovídá jen přejmenování $ b,c$). Pokud je $ a^2=b$, potom $ a^4=b^2=1$, protože řád každého prvku musí být dělitelem řádu grupy (různé mocniny $ a$ tvoří podgrupu $ \{1,a,a^2,\ldots, a^{r-1}\}$ a mohou prostřídat nejvýše tolik hodnot, kolik má grupa prvků). Každopádně nalezneme nějaký prvek řádu $ 2$, buď $ a$, nebo $ b$. Zbylé dva pak mají řád buď také roven $ 2$ a dostaneme grupu {\bb Z}$ _2\times${\bb Z}$ _2$, nebo mají řád $ 4$ a získáme {\bb Z}$ _4$, která není izomorfní {\bb Z}$ _2\times${\bb Z}$ _2$. Grupu {\bb Z}$ _2\times${\bb Z}$ _2$ si lze jednoduše představit jako $ \{(x_1,x_2),\ x_1,x_2\in\{0,1\}\}$ se sčítáním modulo dva po složkách. Grupa {\bb Z}$ _4$ je naproti tomu čtyřprvková cyklická grupa, tedy například $ \{\pm 1,\pm {i}\}$ s násobením.

Podobně pětiprvková grupa musí být izomorfní {\bb Z}$ _5$ (a sedmiprvková {\bb Z}$ _7$). Všimněte si, že všechny grupy s nejvýše pěti prvky jsou Abelovy, neboli komutativní grupy. Nejmenší nekomutativní grupou je šestiprvková {\bb S}$ _3$. Další šestiprvková grupa {\bb Z}$ _6=${\bb Z}$ _2\times${\bb Z}$ _3$ je opět komutativní. Klasifikovat grupy s několika prvky nebo Abelovy grupy je snadné, na klasifikaci všech konečných grup musely pracovat generace algebraiků a nedávno dokončené výsledné dílo má řádově tisíce stran.

$ \ast$LM$ \ast$