Jsou exponenciála a logaritmus opravdu
navzájem inverzní?

Úkol: Ukažte, že řady pro exponenciálu a logaritmus jsou navzájem inverzní funkce, přímým dosazením jedné řady do druhé. Z toho potom přímo plyne, že i pro matice platí $ \ln\exp A=A$.


Řešení: Použijeme řady

$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \ds \mathop{\rm e}^{x}\nolimits =1+{x\over 1!}+{x^2\over 2!}+\dots+{x^n\over n!}+\dots$  
$\displaystyle \ln y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \ds {y-1\over1}-{(y-1)^2\over2}+\dots+(-1)^{n-1}{(y-1)^n\over
n}+\dots$  

Je nutno podotknout, že druhá řada má poloměr konvergence roven $ 1$. Všechny naše úvahy se tedy budou týkat pouze intervalu $ y\in (0,2)$.

Náš postup bude následující: Nejprve vyjádříme v co nejpřehlednějším tvaru výraz $ (y-1)^n=(\mathop{\rm e}^{x}\nolimits -1)^n$ pro všechna přirozená $ n$. Poté tento tvar dosadíme do řady pro $ \ln y$. Nakonec odvodíme, že vskutku platí $ \ln\mathop{\rm e}^{x}\nolimits =x$ pro $ y=\mathop{\rm e}^{x}\nolimits \in K$, kde $ K$ je oblast, na níž řada pro $ \ln y$ konverguje; v našem výpočtu bude $ K=\{y\in${\bb C}$ \,,\ \vert y-1\vert<1\}$.

Nejprve tedy zjednodušíme výraz $ (\mathop{\rm e}^{x}\nolimits -1)^n$. Podle binomické věty platí

$\displaystyle {(\mathop{\rm e}^{x}\nolimits -1)^n = \ds
\mathop{\rm e}^{nx}\nol...
...+\dots+(-1)^{n-1}\left({n\atop n-1}\right)\mathop{\rm e}^{x}\nolimits +(-1)^n=}$
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \ds \left[1+{nx\over 1!}+\dots+{n^kx^k\over k!}+\dots\right]-$  
    $\displaystyle -\left({n\atop 1}\right)\Bigl[1+{{(n-1)x}\over 1!}+\dots+{{(n-1)^kx^k}\over
k!}+\dots\Bigl]+\dots$  
    $\displaystyle \ds\dots + (-1)^{n-1}\left({n\atop n-1}\right)\Bigl[1+{x\over
1!}+{x^2\over 2!}+\dots+{x^k\over k!}+\dots\Bigr]+ (-1)^n$  

Sdružíme nyní členy se stejnou mocninou $ x$. To lze díky již výše zmiňované absolutní konvergenci řady $ \mathop{\rm e}^{x}\nolimits $.
$\displaystyle {(\mathop{\rm e}^{x}\nolimits -1)^n=\textstyle 1-\left({n\atop 1}...
...ht)+\left({n\atop 2}\right)-
\dots+(-1)^{n-1}\left({n\atop n-1}\right)+(-1)^n+}$
    $\displaystyle +x\textstyle {1\over 1!}\Bigl[n-\left({n\atop 1}\right)(n-1)
+
\dots+(-1)^n\left({n\atop n-1}\right)\Bigr]+$ (84)
    $\displaystyle \textstyle+ x^2{1\over 2!}\Bigl[n^2-
\left({n\atop 1}\right)(n-1)^2+
\dots+(-1)^{n-1}\left({n\atop n-1}\right)\Bigr]+\dots$  
    $\displaystyle \textstyle\dots +
x^k{1\over{k!}}\Bigl[n^k-\left({n\atop 1}\right)(n-1)^k
+-\dots+(-1)^{n-1}\left({n\atop n-1}\right)\Bigr]+
\dots$  

Protože ale $ \mathop{\rm e}^{x}\nolimits -1$ neobsahuje absolutní člen, je nejnižší mocnina $ x$ v uvedeném rozvoji $ n$. Prvních $ n$ řádků je tedy nulových. Tento fakt, který lze dokázat i přímým výpočtem, později ještě jednou využijeme.

Zkoumejme nyní, jaký je koeficient u členu $ x^m$ ve výrazu

$\displaystyle \ln \big((\mathop{\rm e}^{x}\nolimits -1)+1\big)=
{(\mathop{\rm ...
... e}^{x}\nolimits -1)^2\over2}+{(\mathop{\rm e}^{x}\nolimits -1)^3\over3}-\dots $

pro $ m>1$. Podle výše uvedeného je tento koeficient stejný jako koeficient u $ x^m$ ve výrazu

$\displaystyle {(\mathop{\rm e}^{x}\nolimits -1)^1\over1}-{(\mathop{\rm e}^{x}\nolimits -1)^2\over2}+\dots+(-1)^{m-1}{(\mathop{\rm e}^{x}\nolimits -1)^m\over m} $

Dosadíme-li nyní z výše odvozené formule pro $ (\mathop{\rm e}^{x}\nolimits -1)^n$, zjistíme, že tento koeficient je roven
$\displaystyle a_{m}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {1\over m!}\Bigl[1-{[2^m-\left({2\atop 1}\right)1^m]\over2}+{[3^m-\left({3\atop 1}\right)2^m+
\left({3\atop 2}\right)1^m]\over3}-\dots +$  
    $\displaystyle +(-1)^{m-1}{[m^m-\left({m\atop 1}\right)(m-1)^m+
\dots+(-1)^{m-1}\bigl({m \atop m-1}\bigr)]\over m}\Bigr]$  

Našim posledním úkolem bude dokázat, že tento výraz je pro $ m>1$ roven nule. Zde vede k cíli následující úvaha: Přeskupíme uvažovaný výraz tak, že dáme k sobě členy s mocninou $ k^m$ o stejném základu a tento výraz zjednodušíme. Nakonec ukážeme, že součet těchto výrazů pro $ k=1,\dots,m$ je roven nule.

První ohlášený krok je

$\displaystyle { m!\cdot a_m
=\textstyle 1^m\left[1 + \frac{1}{2}2 + \frac{1}{3}3 + \dots +
\frac{1}{m}m \right] -}$
    $\displaystyle \textstyle - 2^m\Bigl[{1\over2} + {1\over3}\left({3\atop 1}\right) +\dots+{1\over
m}\left({m\atop m-2}\right)\Bigr]+$  
    $\displaystyle \textstyle + 3^m\Bigl[{1\over3} + {1\over4}\left({4\atop 1}\right)+\dots+{1\over
m}\left({m\atop m-3}\right)\Bigr]-\dots$  
    $\displaystyle \textstyle\dots + (-1)^{i-1}i^m\Bigr[{1\over i}+{1\over
i+1}\left...
... i+2}\left({i+2\atop 2}\right)+\dots+{1\over
m}\left({m\atop m-i}\right)\Bigl]+$  
    $\displaystyle \textstyle + (-1)^{m-1} {1\over m}m^m\,.$  

Pomocí identity

$\displaystyle \frac{1}{i+k}\left({i+k\atop k}\right)=\frac{(i+k)!}{k!i!}\cdot \...
...(i+k-1)!}{k!(i-1)!}\cdot\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\left({i+k-1\atop k}\right)\,.
$

lze výrazně zjednodušit $ i$-tý řádek

   to $ \ds (-1)^{i-1}i^m\Bigr[{1\over i}+{1\over i+1}\left({i+1\atop 1}\right)+{1\ove...
...\left({i+2\atop 2}\right)+\dots+{1\over m}\bigl({m\atop m-i}\bigr)\Bigl]=\hfill$$\displaystyle \hss
$

$\displaystyle =(-1)^{i-1}i^{m-1}\Bigr[1+\left({i\atop 1}\right)+\left({i+1\atop 2}\right)+\dots+
\left({m-1\atop m-i}\right)\Bigl]=
$

to $ \hfill\ds =(-1)^{i-1}i^{m-1}\left({m\atop i}\right)\,.$$\displaystyle \hss
$

Poslední krok spočíval v opakovaném používání identity $ {n\choose
k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}$. Celkem je tedy

$\displaystyle m!\cdot a_m=1^{m-1}\left({m\atop 1}\right)-2^{m-1}\left({m\atop 2}\right)+\dots+
(-1)^{m-1}m^{m-1}\left({m\atop m}\right)\,, $

což je (eventuelně až na ,,normalizaci'') koeficient u $ x^{m-1}$ v rozvoji $ (\mathop{\rm e}^{x}\nolimits -1)^m$ do řady (84). Již výše jsme ale vysvětlili, že tento výraz je roven nule. Zároveň je zřejmé, že u $ x^1$ je koeficient jedna, tedy $ \ln(\mathop{\rm e}^{x}\nolimits )=x$.

$ \ast$JV$ \ast$