Generátory {\bb SU}$ (2)$ aneb Výpočet exponenciály trikem pro speciální matici

Úkol: Vypočítejte $ \exp(i \varphi \vec{n}\cdot$   {\mb \char27 }$ )$, $ \varphi \in${\bb R}. Vektor {\mb \char27 }$ $ obsahuje Pauliho matice (viz příklad 6.1)

{\mb \char27 }$\displaystyle = \left(\begin{array}{ccccccccccccc} \left(\begin{array}{cccccccc...
...\begin{array}{ccccccccccccc} 1 &0 \cr 0 &-1\end{array}\right)\end{array}\right)$

a $ \vec{n} =(n_1,n_2,n_3)\in$   {\bb R}$ ^3 , \arrowvert\vec{n}\arrowvert
=1$. Pokud se v tomto zápisu nevyznáte, pak vězte, že máte spočítat exponenciálu z matice

$\displaystyle {i} \varphi \vec{n}\cdot$   {\mb \char27 }\begin{displaymath}=
{i}\varphi
\left(
n_1
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 ...
...cc}
1\, & 0 \\
0\, & -1 \\
\end{array}
\right)
\right)
\end{displaymath}

Z výsledku odvoďte, že (1) reálné kombinace Pauliho matic $ \sigma_1$, $ \sigma_2$, $ \sigma_3$ generují grupu {\bb SU}$ (2)$ a podobně že (2) reálné kombinace matic $ \mathbbm{1}$, $ \sigma_1$, $ \sigma_2$, $ \sigma_3$ generují {\bb U}$ (2)$


Řešení: Exponenciálu si rozepíšeme do řady

$\displaystyle \exp(i \varphi \vec{n}\cdot${\mb \char27 }$\displaystyle ) = \mathbbm{1}+ {i}\varphi \vec{n}
\cdot${\mb \char27 }$\displaystyle - {\varphi ^2(\vec{n}\cdot\mbox{{\mb \char27 }} ) ^2\over{2}} - {{i}\varphi
^3(\vec{n}\cdot\mbox{{\mb \char27 }} ) ^3\over{3!}}+ \cdots\,.$

Mocniny matice $ \vec{n}\cdot$   {\mb \char27 }$ $ můžeme upravit pomocí vzorce (30) v příkladu 6.1.

to $ \ds (\vec{n}\cdot$   {\mb \char27 }$ )(\vec{n}\cdot${\mb \char27 }$ ) =
\sum_{j=1}^3 n_j\sigma _j \sum_{k=1} ^3 n_k\sigma _k =\sum_{j,k=1}^3
n_jn_k(\sigma_j\sigma_k)=\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \hfill\ds =\sum_{j,k} n_j n_k \left[\sum_{l} i\epsilon_{lkj}\sigma_{l} +
\delta_{kj}\mathbbm{1}\right] =0+\sum_{j} n_{j}^2 \mathbbm{1}=\mathbbm{1}\,.$$\displaystyle \hss
$

Výraz $ v_l=\sum_{jk} n_jn_k\varepsilon _{lkj}$ je nulový pro každé $ l$: buďto to chápeme jako úžení součinu symetrického a antisymetrického součinu (členy $ n_jn_k\varepsilon _{lkj}$ a $ n_kn_j\varepsilon _{ljk}$ se vyruší, neboť jsou až na znaménko stejné), nebo víme, že $ v_l$ jsou složky vektoru $ \vec{n}\times\vec{n}=0$.

Do rozvoje pro exponenciálu pak můžeme za $ (\vec{n}\cdot${\mb \char27 }$ )(\vec{n}\cdot${\mb \char27 }$ )$ dosadit

$\displaystyle \exp({i} \varphi \vec{n}${\mb \char27 }$\displaystyle ) = \mathbbm{1}-
{\frac{\varphi^2}{2} \mathbbm{1}} + {\frac{\varphi^4}{4!} \mathbbm{1}}- \cdots
+(\vec{n}\cdot${\mb \char27 }$\displaystyle )\left[{i} \varphi - {{i}\varphi^3\over{3!}} + {{i} \varphi^5
\over{5!}} - \cdots\right]\,.$

První část rozvoje lze po vytknutí jednotkové matice napsat jako $ \cos\varphi$ a druhou část zase (po vytknutí $ i\vec{n}\cdot${\mb \char27 }$ $) jako $ \sin\varphi$. Výsledek můžeme tedy zapsat v elegantním tvaru

$\displaystyle \exp({i} \varphi \vec{n}${\mb \char27 }$\displaystyle ) = \mathbbm{1}\cos\varphi +
 (\vec{n}${\mb \char27 }$\displaystyle ){i}\sin\varphi\,.$ (85)

Nyní se zamysleme nad tím, co jsme vlastně tímto výpočtem dokázali. Předně: každou matici $ A$ {\bb SU}$ (2)$, resp. z  {\bb U}$ (2)$ lze napsat jako

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} a & b\cr -\overline{b} & \overline{a}\end{array}\right)\,,$    resp. $\displaystyle \
 \mathop{\rm e}^{i\alpha}\nolimits \left(\begin{array}{cccccccc...
...in\mbox{{\bb C}}\,,\hskip.5cm\cr
 \vert a\vert^2+\vert b\vert^2=1\,,\end{array}$ (86)

to lze extrahovat z podmínek $ AA^\dag =\mathbbm{1}$ a $ \mathop{\rm det}\nolimits A=1$ (resp. $ AA^\dag =\mathbbm{1}$ pro matice z  {\bb U}$ (2)$). Dále se přesvědčte, že matice na pravé straně (85) je pouze jiné vyjádření obecné matice z  {\bb SU}$ (2)$, neboli že pro každou matici ve tvaru (86) vlevo lze zvolit $ \varphi $ a $ \vec{n}$ tak, aby

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} a & b\cr -\overline{b} & \overline{a}\end{array}\right)=
\mathbbm{1}\cos\varphi + (\vec{n}${\mb \char27 }$\displaystyle ){i}\sin\varphi
$

a naopak.

Konečně si uvědomíme, že libovolnou reálnou kombinaci Pauliho matic můžeme napsat jako $ \varphi \vec{n}${\mb \char27 }$ $, $ \varphi \in${\bb R}. Rovnice (85) pak říká, že z těchto lineárních kombinací vygenerujeme celou grupu {\bb SU}$ (2)$. Pokud k Pauliho maticím přidáme jednotkovou matici, vygenerujeme zřejmě {\bb U}$ (2)$, neboť $ \exp(i\alpha \mathbbm{1}+ i\varphi \vec{n}${\mb \char27 }$ )=\mathop{\rm e}^{i \alpha }\nolimits \mathbbm{1}
\exp(i\varphi \vec{n}${\mb \char27 }$ )$. Názorně tedy vidíme, že {\goth u}$ _2$ neboli hermitovské matice (tedy reálné lineární kombinace Pauliho matic a $ \mathbbm{1}$, viz příklad 6.1) generují40 {\bb U}$ (2)$ a {\goth su}$ _2$ čili hermitovské matice s nulovou stopou (tedy lineární kombinace pouze Pauliho matic) generují {\bb SU}$ (2)$.

Zdůrazněme, že libovolná Lieova algebra, která je lineárním obalem tří objektů splňujících stejné komutační relace jako Pauliho matice

$\displaystyle [\sigma_j,\sigma_k]=i\sum_l \varepsilon _{jkl}\sigma_l\,,$ (87)

tedy $ [\sigma_1,\sigma_2]=i\sigma_3$ a další dvě relace získané cyklickou záměnou, je izomorfní {\goth su}$ _2$, a tudíž generuje grupu, která je izomorfní {\bb SU}$ (2)$.

Jen pro osvěžení pojmů dodejme, že Pauliho matice jsou infinitesimální generátory {\bb SU}$ (2)$, neboť41 $ \exp(i\varphi \sigma_1)$, $ \varphi \in${\bb R} je podgrupou {\bb SU}$ (2)$ a podobně to platí pro $ \sigma_2$, $ \sigma_3$. Tyto tři podgrupy jsou příklady jednorozměrných torů {\bb SU}$ (2)$: máme přitom na mysli jejich izomorfii s komutativní grupou $ \{z\in${\bb C}$ \,,\ \vert z\vert=1\}$ s operací násobení, {\bb U}$ (1)$, tedy vlastně jednotkovou kružnicí; tuto grupu si můžeme představit také jako interval $ \langle 0,2\pi)$ se sčítáním ,,modulo'' $ 2\pi$ (tedy slepíme konce úsečky a dostaneme onu kružnici).

Dvourozměrný torus by byla (opět komutativní) grupa {\bb U}$ (1)\times$   {\bb U}$ (1)$. To samozřejmě není totéž, co {\bb U}$ (2)$ (což je nekomutativní grupa; najděte nějaký hezký příklad). Grupa {\bb U}$ (1)\times$   {\bb U}$ (1)$ je množina $ \{(z_1,z_2)\,,\
z_{1,2}\in${\bb C}$ \,,\ \vert z_{1,2}\vert=1\}$ s násobením po složkách (viz přímé součiny v příkladu 2.1) a lze si ji také představit jako čtverec $ \langle 0,2\pi)\times\langle 0,2\pi)$, jemuž slepíme dvě a dvě protilehlé strany. Takto dostaneme záchranný kruh, torus, neboli anuloid. Skutečnost, že v  {\bb SU}$ (2)$ existují pouze tory dimenze jedna42, vyjadřujeme úslovím ,,rank {\bb SU}$ (2)$ je jedna''.

$ \ast$MV,KV$ \ast$