Jak připravit kysličník sírový

Úkol: Prohlédněte si matice

$\displaystyle A_1=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 0&0&0\cr 0&0&-1\cr 0&1&0\e...
...eft(\begin{array}{ccccccccccccc} 0&-1&0\cr 1&0&0\cr 0&0&0\end{array}\right)\,.
$

a)
Ujistěte se, že tyto matice tvoří bázi v prostoru antisymetrických matic $ 3\times 3$.
b)
Vypočítejte komutátory mezi uvedenými maticemi a ukažte, že je prostor z bodu a) Lieova algebra.
c)
Ověřte, že $ \{A_1,A_2,A_3\}$ je infinitesimálním generátorem grupy {\bb SO}$ _3$ a že generuje celou tuto grupu. Proto nazýváme výše zmíněnou algebru $ {\mbox{{\goth so}}}_3$.


Řešení: a) Slušelo by se zamyslet se na úvod nad tím, zda antisymetrické matice skutečně tvoří vektorový prostor (označme jej $ A$). Uzavřenost vůči sčítání a násobení číslem si ale jistě každý ověří sám.

Obecná antisymetrická matice $ 3\times 3$ má tvar

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 0&\alpha&\beta\cr -\alpha&0&\gamma\cr -\beta&-\gamma&0\end{array}\right)=
-\alpha A_3+\beta A_2-\gamma A_1\,,
$

a lze ji tedy zapsat jako lineární kombinaci matic $ A_{1,2,3}$. Lineární nezávislost těchto matic je zřejmá, jelikož žádné dvě matice nemají ve stejné poloze nějaký nenulový element.


b) Trošku si zanásobíme a záhy zjistíme, že například $ A_iA_j$ je pro $ i\not=j$ matice ze samých nul s jednou jedničkou na pozici $ ji$. Z toho pak plyne

$\displaystyle [A_i,A_j]=\varepsilon _{ijk}A_k\,,
$

neboli komutátor dvou různých matic $ A_i$ je roven třetí matici opatřené určitým znaménkem (v příkladu 6.1 je definován Levi-Civittův symbol $ \varepsilon _{ijk}$).

Důležité ale je, že komutováním matic z báze dostaneme opět matici z prostoru $ A$. Jelikož je komutátor v obou argumentech lineární operátor, znamená to také, že je prostor $ A$ uzavřený při operaci komutování. Tedy tvoří Lieovu algebru.


c) Infinitesimální generátor grupy {\bb G} je prvek $ g$, pro který platí $ \exp(\varphi g)\in${\bb G} pro všechna $ \varphi \in${\bb R}. Spočítejme nejprve tuto exponenciálu pro matici $ A_1$. Tato matice je v blokově diagonálním tvaru: vlevo nahoře je blok velikosti $ 1\times
1$ obsahující pouze nulu, následuje blok $ 2\times 2$. Díky tomu je

$\displaystyle \exp(\varphi A_1)=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \mathop{\rm ...
...{array}{ccccccccccccc} 0&1\cr -1&0\end{array}\right)\right]\end{array}\right).
$

Exponenciálu matice vpravo dole ($ \varphi R$) spočítáme velmi podobně, jako jsme v příkladech 6.1,11.8 počítali exponenciály Pauliho matic $ \sigma$. Klíčové je vědět, že $ R^2=-\mathbbm{1}$.

$\displaystyle \hskip-1.5pt
\exp(\varphi R)=\hskip-.75pt\sum_{k=0}^\infty \frac{...
...ac{(-1)^k}{(2k+1)!}\varphi ^{2k+1} R=
\mathbbm{1}\cos\varphi +R\sin\varphi \,.
$

V tomto okamžiku mimochodem vidíme, že matice $ R$ (otočení o pravý úhel v rovině) je infinitesimálním generátorem grupy {\bb SO}$ _2$ (srovnejte s příkladem 10.1) a že generuje celou tuto grupu: $ \exp(\varphi R)$ je prostě otočení v rovině o úhel $ \varphi $.

Pro matici $ A_1$ jsme teď dostali

$\displaystyle \exp(\varphi A_1)=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&0&0\cr 0&\cos\varphi &\sin\varphi \cr 0&-\sin\varphi &\cos\varphi \end{array}\right)\,,
$

což je ale matice otočení v  {\bb R}$ ^3$ kolem osy45 $ x_1$ o úhel $ \varphi $ (opět viz příklad 10.1). Grupa $ \{\exp(\varphi A_1),\ \varphi \in${\bb R}$ \}$ je samozřejmě komutativní.

Jelikož matice $ A_2$ a $ A_3$ mají oproti $ A_1$ v podstatě jen přečíslované řádky a sloupce ( $ 1\to 2\to 3\to 1$), nepřekvapí nás, že podobným výpočtem zjistíme, že $ \exp(\varphi A_2)$ a $ \exp(\varphi A_3)$ jsou matice otočení kolem os $ x_2$ a $ x_3$ (ještě jednou, viz příklad 10.1, vzorec 66).

Víme ale, že z takových otočení lze poskládat libovolné otočení v  {\bb R}$ ^3$: stačí po sobě provést například otočení kolem osy $ x_3$ $ \varphi _1$, pak kolem $ x_1$$ \vartheta $ a pak opět kolem $ x_3$ $ \varphi _2$ (toto tvrzení je důkladně probráno v příkladu 10.2 o Eulerových úhlech). Tedy lze libovolný prvek $ g\in${\bb SO}$ _3$ zapsat jako

$\displaystyle g=\exp(\varphi _1 A_3)\exp(\vartheta A_1)\exp(\varphi _2 A_3)\,.
$

Z toho již plyne, že existuje také určitý prvek $ a\in{\mbox{{\goth so}}}_3$ (tedy nějaká lineární kombinace matic $ A_{1,2,3}$), pro který je $ \exp(a)=g$. Není to přímo $ \varphi _1A_3+\vartheta A_1+\varphi _2 A_3$, jelikož matice $ A_1$ a $ A_3$ spolu nekomutují a pak není $ \exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)$. Na druhou stranu lze ale napsat $ \exp(A)\exp(B)$ jako exponenciálu výrazu, který je lineární kombinací $ A$, $ B$, $ [A,B]$ a dalších složených komutátorů. Jelikož je $ {\mbox{{\goth so}}}_3$ uzavřená na komutování, je i tento výraz prvkem $ {\mbox{{\goth so}}}_3$ (lineární kombinací $ A_{1,2,3}$).

My ale nebudeme sledovat tuto obecnou cestu a v příkladu 12.2 ukážeme přímo, jakou antisymetrickou matici je potřeba vložit do exponenciály, aby vyšla nějaká zadaná rotace z  {\bb SO}$ _3$.

$ \ast$KV$ \ast$