Algebra $ {\mbox{{\goth so}}}_3$ a vektorový součin

Úkol: Zkoumejme vlastnosti operátoru $ \{ \vec{x} \mapsto \vec{v} \times \vec{x} \}:
\ $   {\bb R}$ ^3 \rightarrow$   {\bb R}$ ^3$. (kde $ \vec{v}$ má souřadnice $ (v_1,v_2,v_3) $).


Řešení: Tento operátor je v kanonické bázi vyjádřen maticí (viz příklad 6.4)

$\displaystyle M=\left( \begin{array}{rrr}
\circ & -v_3 & v_2 \cr
v_3 & \circ & -v_1 \cr
-v_2 & v_1 & \circ \cr
\end{array} \right). $

Tyto matice tvoří vektorový prostor, který je navíc uzavřený na operaci komutování, jak jsme se přesvědčili v příkladu 12.1 (komutováním matic příslušných k vektorům $ \vec{e}_1$, $ \vec{e}_2$ dostaneme matici příslušnou vektoru $ \vec{e}_3$). Tento prostor je tedy také Lieovou algebrou $ {\mbox{{\goth so}}}_3$.

Zároveň jsme tím ale také odhalili izomorfizmus

$\displaystyle \left\lbrace(v_1,v_2,v_3) \mapsto
\left( \begin{array}{rrr}
\cir...
...rc & -v_1 \cr
-v_2 & v_1 & \circ \cr
\end{array}
\right)
\right\rbrace :
\,(${\bb R}$\displaystyle ^3,+,\times)\to({\mbox{{\goth so}}}_3,+,[,]) $

srovnejte například $ (1,0,0)^T\times (0,1,0)^T=(0,0,1)^T$ a $ [A_1,A_2]=A_3$. Z tohoto důvodu budeme matici $ M\in{\mbox{{\goth so}}}_3 $ , příslušející vektoru $ \vec{v}$ v tomto izomorfizmu psát prostě jako $ \vec{v} \times
$. Zdůrazněme, že struktura $ (${\bb R}$ ^3,+,\times)$ je samozřejmě také Lieova algebra s komutátorem $ [\vec{v},\vec{u}]\df=\vec{v}\times\vec{u}$.

Ukážeme teď, že $ \exp{(\vec{v} \times)} \in$   {\bb SO}$ _3$ a také, jak pro zadané otočení z  {\bb SO}$ _3$ najít jemu odpovídající $ \exp{(\vec{v} \times)}$. Operátor $ \vec{v} \times
$ má vlastní čísla $ 0,\pm{i}\Vert v\Vert$. Lze to například vypočítat přímo z maticového vyjádření $ \vec{v} \times
$. Jiná (podle autorů pohodlnější) možnost je si uvědomit, že $ \vec{v}\times \vec{v}=0$, tedy libovolný násobek $ \vec{v}$ je vlastním vektorem $ \vec{v} \times
$ příslušným k vlastnímu číslu 0. Kvůli zbylým vlastním číslům vektorově násobíme rovnici pro vlastní vektory

$\displaystyle \vec{v}\times\vec{x}=\lambda\vec{x}$ (89)

zleva $ \vec{v}$. Dostaneme
$\displaystyle \vec{v}\times (\vec{v}\times \vec{x})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lambda \vec{v}\times\vec{x}$  
$\displaystyle \vec{v}~(\vec{v}\cdot\vec{x})-\vec{x}\Vert\vec{v}\Vert^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lambda^2 \vec{x}\,,$ (90)

ve druhém kroku jsme použili známou ,,identitu bac mínus cab'' (viz příklad 19.5) a na pravé straně jsme dosadili znovu rovnici 89. Pokud rovnici 90 násobíme skalárně $ \vec{v}$, dostaneme na levé straně nulu, a to znamená, že je buď $ \lambda=0$, nebo $ \vec{x}\cdot \vec{v}=0$. Vidíme tedy, že vlastní vektory k jiným vlastním číslům musí být kolmé na vlastní vektor pro $ \lambda=0$. Toto není náhoda. Matice $ \vec{v} \times
$ sice není symetrická, ale je antihermitovská (tedy $ M^\dag =-M$), čili $ {i}M$ je již hermitovská ( $ (
{i}M)^\dag ={i}M$) a její vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou na sebe kolmé. Známé tvrzení, že hermitovské matice mají jen reálná vlastní čísla, nám nyní napovídá, že $ M$ má pouze ryze imaginární vlastní čísla.

Nyní již dotáhneme naše hledání nenulových vlastních čísel do vítězného konce. V rovnici 90 je $ \vec{v}\cdot\vec{x}=0$, a tedy $ \lambda^2=-\Vert\vec{v}\Vert^2$ a nenulová vlastní čísla mohou být pouze $ \pm i\Vert\vec{v}\Vert$. Že to budou opravdu obě dvě, víme proto, že reálná matice $ M$ s komplexním vlastním číslem $ \lambda$ má také vlastní číslo $ \overline{\lambda}$.

Hledání nenulových vlastních čísel mohlo jít možná rychleji, kdybychom se zaměřili na případ $ \vec{v}=(0,0,1)$ (na nějž lze vhodnou volbou báze převést i libovolný obecný případ). Pak by bylo možné díky

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 0&-1\cr 1&0\end{array}\right)=...
... &
\sin\frac{\pi}{2}\cr -\sin\frac{\pi}{2}&\cos\frac{\pi}{2}\end{array}\right)
$

použít to, co jsme zjistili v bodě 1. příkladu 10.1.

Přichází zlatý hřeb programu: matice $ \exp(\vec{v}\times)$ má tedy vlastní čísla $ \exp 0,\exp(\pm{i}\Vert\vec{v}\Vert)$. Vlastní čísla matice libovolné rotace $ r$ {\bb R}$ ^3$ o úhel $ \varphi $ jsou $ 1,\exp(\pm{i}\varphi )$, viz formule 66 v příkladu 10.1: ve vhodné bázi je opět libovolná rotace rotací okolo osy $ (1,0,0)$.

Pokud $ \varphi =\Vert\vec{v}\Vert$, jsou si matice zobrazení $ r$ a $ \exp(\vec{v}\times)$ tudíž podobné, neb mají stejná vlastní čísla. Je-li navíc $ \vec{v}$ osa, podle které otáčí $ r$, znamená to, že se shodují jejich vlastní vektory k vlastnímu číslu jedna. Pak ale může být $ \exp(\vec{v}\times)$ už jenom otočení kolem osy $ \vec{v}$ o úhel $ \Vert\vec{v}\Vert$, neboť víme, že matice tohoto zobrazení je reálná. O tom, v jakém směru se otáčí, je potřeba ještě trochu přemýšlet.

Tento závěr souhlasí s tvrzením (viz [PLA], cvičení v kapitole Lieova algebra), že v  {\bb R}$ _2$ je otočení o pravý úhel base infinitesimálního generátoru grupy otáčení. V  {\bb R}$ _3$ to můžeme chápat tak, že otáčíme vektory ležící v rovině kolmé na osu otáčení $ \vec{o}$, neboť otočení takových vektorů o pravý úhel je možné napsat jako $ \vec{o} \times $, kde $ \vec{o}$ je jednotkový vektor ve směru osy.

Operátor $ \exp(\vec{v}\times)$ otáčí správně i obecné vektory $ \vec{r}\in$   {\bb R}$ _3$, které nejsou kolmé k $ \vec{v}$. Připomeňme ještě jednou, že $ (\vec{v}\times)\vec{r}_{\Vert}=0$, tedy $ \exp(\vec{v}\times)\vec{r}_{\Vert}=\vec{r}_{\Vert}$. Pokud rozložíme $ \vec{r}=\vec{r}_\Vert+\vec{r}_\perp$ na složky ve směru osy a ve směru kolmém, vidíme, že rovnoběžná složka se zachová a kolmá se správně otočí $ \exp(\vec{v}\times)\vec{r}=\vec{r}_\Vert+\exp(\vec{v}\times)\vec{r}_\perp$.

$ \ast$PC,KV$ \ast$