Řešitelné algebry

Úkol: Lieova algebra $ L$ se nazývá řešitelnou, jestliže existuje $ n$, že v řadě

$\displaystyle L^{(1)} \== [L,L],\ L^{(2)}=[L^{(1)},L^{(1)}],\ L^{(3)} = [L^{(2)},L^{(2)}],\
\ldots $

je $ L^{(n)}=0$. Pod $ [I,J]$ máme na mysli množinu všech komutátorů $ [x,y]$, $ x\in I$, $ y\in J$. Dokažte, že algebra horních trojúhelníkových matic je řešitelná.


Řešení: Zapišme horní trojúhelníkovou matici $ {U}$ jako součet $ {D}+{N}$, kde $ {D}$ je diagonální matice a $ {N}$ má na hlavní diagonále nuly. Rozepíšeme-li komutátor a využijeme-li faktu, že diagonální matice komutují, dostaneme

$\displaystyle [{U_1},{U_2}]=[{D_1}+{N_1},{D_2}+{N_2}] =
[{D_1}, {N_2}] + [{N_1},{D_2}] + [{N_1},{N_2}]\,.$

Všechny tři matice na pravé straně mají nuly na hlavní diagonále i všude pod ní. Algebra (ideál, viz níže) $ L^{(1)}$ tedy obsahuje pouze matice $ a_{ij}$, které mají nenulové prvky pouze pro $ i \leq j-1$ (tedy od první řady nad diagonálou počínaje). Prodloužením tohoto postupu dostáváme, že $ L^{(k)}$ obsahuje pouze matice s  $ i \leq j-k$ a tedy $ L^{(n)}$ už obsahuje pouze nulovou matici (rychlost, se kterou se ,,odsouvají'' nenulové členy je ve skutečnosti větší: $ i\le
j+1-2^k$).

Mimochodem: ideál $ I$ je podalgebra algebry $ L$ taková, že $ [i,g]\in I$ pro každé $ i\in I$ a $ g\in L$ (je to tedy obdoba normální podgrupy). Zkuste dokázat, že pokud jsou $ I$,$ J$ ideály, pak je i $ [I,J]$ ideál.

$ \ast$$ \ast$