Anihilátor

Úkol: Uvažujme nějaký (konečněrozměrný) vektorový prostor {\bb V}. Ke každému jeho podprostoru {\bb W} přiřadíme podmnožinu {\bb W}$ ^*$ (anihilátor) jeho duálu {\bb V}$ '$, která obsahuje všechny formy $ f\in${\bb V}$ '$ takové, že $ f(\vec{v})=0$ pro všechna $ \vec{v} \in${\bb W}.

a)
Dokažte, že {\bb W}$ ^*$ je podprostor {\bb V}$ '$ a platí

$\displaystyle \dim${\bb W}$\displaystyle +\dim${\bb W}$\displaystyle ^*=\dim${\bb V}$\displaystyle \left(=\dim\mbox{{\bb V}}'\right)$

b)
Přesvědčte se dále, že platí analogie vztahů z výrokové logiky $ (A\wedge B)'=A'\vee B,\ldots$
$\displaystyle (${\bb W}$\displaystyle ^*)^*$ $\displaystyle =$ {\bb W}$\displaystyle ,$  
$\displaystyle (${\bb W}$\displaystyle _1\oplus${\bb W}$\displaystyle _2)^*$ $\displaystyle =$ {\bb W}$\displaystyle _1^*\cap${\bb W}$\displaystyle _2^*,$  
$\displaystyle (${\bb W}$\displaystyle _1\cap${\bb W}$\displaystyle _2)^*$ $\displaystyle =$ {\bb W}$\displaystyle _1^*\oplus${\bb W}$\displaystyle _2^*.$  

{\bb W}$ _1\oplus${\bb W}$ _2$ je direktní součet prostorů, neboli $ {\mbox{{\Cal L}}}(\mbox{{\bb W}}_1\cup\mbox{{\bb W}}_2)$.


Řešení: Úlohu vyřešíte snadno sami, vzpomenete-li si na vlastnosti ortogonálního doplňku. Pravdivost předešlých tvrzení se totiž nezmění, nahradíme-li symbol $ *$ symbolem $ \perp$.

Abychom vyjasnili souvislost mezi anihilátorem a ortogonálním doplňkem, uchýlíme se k  Diracově zápisu skalárního součinu. Ten se opírá o izomorfismus prostorů {\bb V} a {\bb V}$ '$, který každé formě $ f\in${\bb V}$ '$ přiřadí vektor $ \vec{v}_f\in${\bb V} takový, že $ f(\vec{x})=(\vec{v}_f\cdot \vec{x})\ \forall\vec{x}\in${\bb V} (po vzoru fyziků komplexně sdružujeme levý vektor). Na zápis $ \langle\varphi \vert\psi\rangle $ tedy můžeme nahlížet buď jako na skalární součin vektorů $ \vert\varphi \rangle $ a $ \vert\psi\rangle $ nebo jako na působení formy $ \langle\varphi \vert $, duální k vektoru $ \vert\varphi \rangle $, na vektor $ \vert\psi\rangle $.

Stačí tedy na {\bb V} zavést nějakou bázi $ \{\vec{e}_i\}$ (a na {\bb V}$ '$ pak příslušnou duální bázi $ \{{\vec{e}}^j\}$ takovou, že $ {\vec{e}}^j(\vec{e}_i)=\delta^j_i$) a dodefinovat potom skalární součin tím, že tuto bázi prohlásíme za ortonormální. Potom prostory {\bb W}$ ^{\perp}$ a {\bb W}$ ^*$ budou přirozeně izomorfní a můžeme použít naše znalosti ortogonálního doplňku.

Pro ortogonální doplněk už vlastnosti

$\displaystyle \dim${\bb W}$\displaystyle +\dim${\bb W}$\displaystyle ^{\perp}=\dim${\bb V}$\displaystyle ,\quad\left(\mbox{{\bb W}}^{\perp}\right)^{\perp}=\mbox{{\bb W}}$ (91)

známe např. ze skript [PLA]. Vlastnost

$\displaystyle \left(\mbox{{\bb W}}_1+\mbox{{\bb W}}_2\right)^{\perp}=\mbox{{\bb W}}_1^{\perp}\cap\mbox{{\bb W}}_2^{\perp}$

plyne okamžitě z linearity skalárního součinu (daný vektor je kolmý ke všem vektorům z  {\bb W}$ _1$ a ke všem vektorům z  {\bb W}$ _2$, právě když je kolmý ke všem jejich lineárním kombinacím), vlastnost

$\displaystyle \left(\mbox{{\bb W}}_1\cap\mbox{{\bb W}}_2\right)^{\perp}=
\mbox{{\bb W}}_1^{\perp}\oplus\mbox{{\bb W}}_2^{\perp}$

je k ní duální a dostaneme ji pomocí $ (W^\perp)^\perp=W$.

$ \ast$TB$ \ast$