Nebojte se Dynkinových diagramů

Úkol: V knize [PLA] autoři načrtli klasifikaci prostých kompaktních Lieových algeber46. Závěrem bylo, že možné jsou jen prosté kompaktní Lieovy algebry s Dynkinovými diagramy ze strany 166 zmíněné knihy. Dynkinův diagram (prosté) algebry je (souvislé) schéma obsahující $ r$ koleček (tzv. prostých pozitivních kořenů, určitých lineárně nezávislých vektorů generujících $ r$-rozměrný prostor -- Cartanovu podalgebru), které mohou být spojeny čarami, udávajícími úhel a poměr délek mezi kořeny.

Člověk by se mohl ptát, proč neexistuje například algebra s Dynkinovým diagramem totožným s chemickým vzorcem benzenu. V tomto jednoduchém cvičení na skalární součin dokážete, ze zmíněné Dynkinovy diagramy jsou opravdu jediné možné.

  1. Nejdříve dokažte počítáním úhlů mezi kořeny a za předpokladu lineární nezávislosti, že se v Dynkinově diagramu nemůže vyskytnout ani jeden z poddiagramů a),b),c) na obrázku 18.

    Obrázek: Některé z nepřípustných Dynkinových diagramů.
    \includegraphics[scale=0.7]{OBRAZKY/dynk1.eps}

  2. Potom si uvědomte, proč se také nemůže vyskytnout žádný obrázek, v němž ve srovnání s a, b nebo c nahradíme nějaký spoj čarou s více spojnicemi.

  3. Ukažte, že pokud je nemožný diagram $ D$, je také nemožný každý diagram $ D'$, kde kořen $ \sigma$ nahradíme kořeny $ \alpha, \beta$ spojenými jednoduchou čarou (bude se vám hodit srovnání $ \sigma$ a $ \alpha+\beta$). Vysvětlete, proč to znamená, že v Dynkinově diagramu nemohou být žádné cykly.

  4. Vysvětlete, proč $ {\mbox{{\goth g}}}_2$ (tedy dva kořeny spojené trojitou linií) je jediný Dynkinův diagram s trojnou vazbou. Dále stačí uvažovat jen diagramy s nejvýše dvojnými vazbami. Vysvětlete, proč je v Dynkinově diagramu nejvýše jedna dvojná vazba.

  5. Výpočtem délek vhodných lineárních kombinací kořenů dokažte, že Dynkinův diagram také neobsahuje žádný ornament na obrázcích d) až k) níže (nečtěte řešení u obrázků), a dokončete tak klasifikaci všech diagramů. Číslíčka u jednotlivých kořenů na obrázcích vám mohou být vodítkem.

    =0.7mm \includegraphics[scale=0.7]{OBRAZKY/dynk2.eps} (-81,50)$ \alpha$ (-74,44)$ \beta$ (-81,30)$ \gamma$ (-60,44)$ \delta $


Řešení:


1. a 2. V prvním úkolu stačí sečíst úhly mezi třemi kořeny na obrázku. V případech a), b), c) dostaneme postupně $ 120^\circ +120^\circ +120^\circ $, $ 120^\circ +150^\circ +90^\circ $ a $ 135^\circ +135^\circ +90^\circ $. Součet je pokaždé $ 360^\circ $, což znamená, že všechny tři kořeny ve skutečnosti leží v jedné rovině (jinak by součet úhlů musel být menší), a to je v rozporu s předpokladem lineární nezávislosti. Pokud z nějaké jednoduché spojnice na obrázku uděláme násobnou (případně dvojnásobnou nahradíme trojnásobnou), zvětšíme tím i odpovídající úhel a součet úhlů bude dokonce větší než $ 360^\circ $, což pro libovolnou trojici vektorů vůbec nemůže v euklidovském prostoru nastat. Tato věta zodpovídá druhou otázku.


3. Pro zodpovězení třetí otázky je třeba si uvědomit, že pokud kořeny $ \alpha, \beta$ spojené jednoduchou čarou nahradíme jedním kořenem $ \sigma=\alpha+\beta$, nedojde v Dynkinově diagramu k žádným jiným změnám (nemusíme kreslit či rušit jiné spojnice). Předpokládejme nějaký Dynkinův diagram $ D'$ s kořeny $ \alpha, \beta$ spojenými jednoduchou čarou a ukažme, že existuje i Dynkinův diagram $ D$, v němž tyto kořeny nahradíme jediným kořenem $ \sigma$.

Zvolme například $ \sigma=\alpha+\beta$. Délka $ \sigma$ je stejná jako délka $ \alpha$ a $ \beta$ (vše díky úhlu $ 120^\circ $ mezi $ \alpha, \beta$) a skalární součiny ostatních kořenů se $ \sigma$ se redukují buď na součin s $ \alpha$, nebo s $ \beta$: z předpokladu, že původní diagram $ D'$ odpovídal existujícímu Dynkinovu diagramu, totiž plyne, že žádný kořen nemohl být spojen zároveň s $ \alpha$ i $ \beta$, jelikož bychom získali zakázaný poddiagram a). Celkově řečeno, pokud je smysluplný diagram $ D'$, je také smysluplný každý diagram $ D$, v němž všechny jednoduché spojnice ,,smrskneme'' do bodu.

Řečeno naopak, je-li diagram $ D$ nepřípustný, jsou nepřípustné také všechny diagramy, které vznikly z $ D$ tím, že jsme do něj vsunuli jednu či více jednoduchých linií. Z toho například plyne, že nemohou existovat Dynkinovy diagramy s uzavřenou smyčkou, protože bychom je mohli redukovat na diagram a), který nemůže nastat.


4. Pohledem na obrázek b) zjistíme, že pokud má diagram trojnou vazbu, kořeny spojené touto vazbou nemohou být spojeny už žádnou další vazbou, čili jediný Dynkinův diagram s trojnou vazbou je $ {\mbox{{\goth g}}}_2$. Odpovídá mu grupa symetrií oktonionů (Cayleyových čísel). Ostatní diagramy mají tedy nejvýše dvojné vazby. V diagramu může být nejvýše jedna dvojná vazba, jinak bychom mohli diagram ,,smrsknout'' na diagram obsahující c).


5. Pohleďme dále na diagramy d), e), které zakazují libovolnou organickou chemii v Dynkinových diagramech. Označme kořeny tak $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$, $ \delta $, jak je to naznačeno na obrázku d). Kvadrát délky lineární kombinace vektorů naznačené na tomto obrázku je

$\displaystyle (\alpha+\gamma+2\beta+2\delta)^2= \alpha^2(1_{\alpha^2}+1_{\gamma...
...4_{\beta^2}+2_{\delta^2} -2_{\alpha\beta}-2_{\beta\gamma}-4_{\beta\delta})=0\,.$ (92)

U numerických koeficientů jsme psali jejich původ, využili jsme vztahů typu $ \alpha^2=\gamma^2=-2\alpha\beta$ atd. Vzorec (92) platí pro obrázek d), důkaz pro e) získáme pouhou náhradou $ \delta\to\delta/2$ v rovnici (92). Tato rovnice ale ukazuje, že $ \alpha, \beta,\gamma, \delta$ nemohou být v euklidovském prostoru lineárně nezávislé. Díky tomu nemůže Dynkinův diagram obsahovat zároveň dvojnou vazbu i větvící se bod (díky možnosti ,,smrsknutí'' jednoduchých čar ani libovolně vzdálený větvící se bod).

Zbytek důkazu už jde jako po másle. Diagramy s dvojnými vazbami tedy musí ležet v přímce. Díky nemožnosti diagramů g), h) (kterou jistě už dokážete sami podobně jako s formulí (92)) platí, že pokud není dvojná vazba úplně tou krajní, nalevo a napravo od ní může být pouze jedna jednoduchá vazba: takový diagram nám dává grupu $ {\mbox{{\goth f}}}_4$. Pokud je dvojná vazba na kraji, lze k ní přidat libovolně dlouhou posloupnost jednoduchých vazeb a získat tak série $ {\mbox{{\goth b}}}_k=
{\mbox{{\goth so}}}(2k+1)$ a $ {\mbox{{\goth c}}}_k={\mbox{{\goth us}}}p(2k)$ (podle orientace šipky). Tím jsme vyčerpali diagramy s násobnými vazbami.


\includegraphics[scale=0.7]{OBRAZKY/dynk3.eps}

Zbývá tedy klasifikovat diagramy čistě s jednoduchými vazbami. Nemožnost diagramu f) říká, že z každého kořenu mohou vybíhat nejvýše tři spojnice, příslušným kořenům říkejme větvící body. Důsledkem výše dokázané možnosti ,,smrsknout'' jednoduché čáry nemůžeme mít více než jeden větvící bod, jelikož bychom z takového diagramu mohli získat f). Diagramy bez větvících bodů jsou samozřejmě povolené, dávají sérii algeber $ {\mbox{{\goth a}}}_k=
{\mbox{{\goth su}}}(k+1)$, stačí nám tedy již jen prozkoumat diagramy s jedním větvícím bodem. Díky nemožnosti i) musí mít nejkratší větev délku 1, díky nemožnosti k) musí mít druhá nejkratší větev délku nejvýše 2. Pokud má tedy i druhá nejkratší větev délku 1, dostáváme sérii $ {\mbox{{\goth d}}}_k=
{\mbox{{\goth so}}}(2k)$; pokud má druhá nejkratší větev délku 2, dostáváme sérii $ {\mbox{{\goth e}}}_k$, obsahující jen $ {\mbox{{\goth e}}}_6,{\mbox{{\goth e}}}_7,{\mbox{{\goth e}}}_8$, jelikož to, co bychom nazývali $ {\mbox{{\goth e}}}_9$, je zakázáno48obrázkem j). Ukažme ještě namátkově analogii rovnice (92) pro tento obrázek; příslušnou lineární kombinaci vektorů nazveme $ d$, kořen zcela vlevo $ \alpha$, skalární součiny spojených kořenů jsou $ -\alpha^2/2$, faktor $ 1/2$ se vyruší s faktorem $ 2$$ ab$ z rozkladu $ (a+b)^2$.

$\displaystyle \nonumber \begin{array}{rcl}
d^2&=&\alpha^2(2^2+4^2+6^2+3^2+5^2+4...
...t 4-4\cdot 6-6\cdot 3-6\cdot 5-5\cdot 4-4\cdot 3
-3\cdot2-2\cdot1)=0\end{array}$

$ \ast$LM$ \ast$